ФИПИ 552BFD — Оптимальный выбор

Нужно сравнить результаты продажи бумаг в разные целые годы. Если продать их в конце года $t$, выручка равна $t^2$ тысяч рублей. До конца 25-го года после этого пройдёт 25−$t$ начислений процентов. Обозначим множитель одного начисления через $q$. Тогда итог на счёте: $$F(t)=t^2q^{25-t},\qquad t=1,2,\ldots,25.$$ Не нужно вычислять все большие суммы по отдельности. Сравним результат следующего года с предыдущим. Если их отношение больше 1 — сумма выросла; если меньше 1 — уменьшилась. Для следующего года число начислений на одно меньше: $$F(t+1)=(t+1)^2q^{25-t-1}.$$ Делим выражения. При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются: $$\frac{F(t+1)}{F(t)}=\frac{(t+1)^2}{t^2}q^{(25-t-1)-(25-t)}$$ $$R(t)=\frac{F(t+1)}{F(t)}=\frac{(t+1)^2}{qt^2}=\frac{(1+1/t)^2}{q}.$$ Когда положительное целое $t$ увеличивается, дробь $1/t$ уменьшается. Значит, $1+1/t$, её квадрат и всё отношение $R(t)$ уменьшаются. Поэтому достаточно найти место, где рост сменяется убыванием: до него все отношения больше 1, после — меньше 1. По ставке из условия множитель одного начисления: $$q=1+\frac{10}{100}=1{,}1.$$ Проверяем переход к 21-му году и переход после него: $$R(20)=\frac{21^2}{1{,}1\cdot20^2}=\frac{441}{440}=\frac{441}{440}>1,$$ $$R(21)=\frac{22^2}{1{,}1\cdot21^2}=\frac{484}{485{,}1}=\frac{440}{441}<1.$$ Отношение $R(t)$ уменьшается. Поэтому на всех более ранних переходах оно ещё больше 1 — сумма растёт. На всех более поздних переходах оно уже меньше 1 — сумма падает. Значит, наибольшая сумма будет при продаже в конце 21-го года. Ответ: 21.