ФИПИ 262AEA — Оптимальный выбор

Нужно распределить производство между двумя заводами так, чтобы при данном бюджете получить как можно больше товара. Обозначим выпуск первого завода через $u$, второго через $v$. По смыслу $u,v\ge0$. Если изготовлено $u$ единиц, затрачено $u^2$ часов; аналогично второй завод затрачивает $v^2$ часов. Умножаем часы на стоимость одного часа. Общие расходы: $$C=200u^2+300v^2.$$ Обозначим весь выпуск через $S=u+v$. Тогда $v=S-u$. Подставим это вместо $v$, чтобы получить выражение с одной переменной $u$ при заданном общем выпуске: $$C=200u^2+300(S-u)^2.$$ Раскрываем квадрат разности и скобки: $$(S-u)^2=S^2-2Su+u^2,$$ $$C=200u^2+300S^2-600Su+300u^2$$ $$C=500u^2-600Su+300S^2.$$ Выделим полный квадрат: он неотрицателен и позволит получить нижнюю границу расходов. Выносим 500 из первых двух членов: $$C=500(u^2-1{,}2Su)+300S^2.$$ Чтобы получить квадрат $(u-0{,}6S)^2$, нужно добавить $0{,}36S^2$; затем вычесть добавленное: $$C=500\bigl((u-0{,}6S)^2-0{,}36S^2\bigr)+300S^2$$ $$C=500(u-0{,}6S)^2-180S^2+300S^2$$ $$C=500(u-0{,}6S)^2+120S^2.$$ Первое слагаемое неотрицательно. При любом распределении выпуска расходы не меньше $120S^2$. Бюджет ограничен 1200000, поэтому: $$120S^2\le1200000.$$ Делим на 120. Так как общий выпуск неотрицателен, берём положительный корень: $$S^2\le10000,\qquad0\le S\le100.$$ Нужно доказать, что 100 единиц действительно можно выпустить. Для равенства квадрат должен быть нулевым. При $S=100$ выбираем: $$u=0{,}6\cdot100=60,\qquad v=100-60=40.$$ Проверяем бюджет: $$200\cdot60^2+300\cdot40^2=200\cdot3600+300\cdot1600$$ $$C=720000+480000=1200000.$$ Граница достигнута: выпускается $60+40=100$ единиц ровно в рамках бюджета. Ответ: 100.