Пенсионный фонд владеет ценными бумагами, которые стоят ${t}^{2}$ тыс. рублей в конце года $t$ ( $t=1; 2; \ldots$ ). В конце любого года пенсионный фонд может продать ценные бумаги и положить деньги на счёт в банке, при этом в конце каждого следующего года сумма на счёте будет увеличиваться в $1+r$ раз. Пенсионный фонд хочет продать ценные бумаги в конце такого года, чтобы
в конце двадцать пятого года сумма на его счёте была наибольшей. Расчёты показали, что для этого ценные бумаги нужно продавать строго в конце двадцать первого года. При каких положительных значениях $r$ это возможно?
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: $r\in(\frac{43}{441};\frac{41}{400})$.
Решение
Нужно сравнить результаты продажи бумаг в разные целые годы. Если продать их в конце года $t$, выручка равна $t^2$ тысяч рублей. До конца 25-го года после этого пройдёт 25−$t$ начислений процентов.
Обозначим множитель одного начисления через $q$. Тогда итог на счёте:
$$F(t)=t^2q^{25-t},\qquad t=1,2,\ldots,25.$$
Не нужно вычислять все большие суммы по отдельности. Сравним результат следующего года с предыдущим. Если их отношение больше 1 — сумма выросла; если меньше 1 — уменьшилась.
Для следующего года число начислений на одно меньше:
$$F(t+1)=(t+1)^2q^{25-t-1}.$$
Делим выражения. При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются:
$$\frac{F(t+1)}{F(t)}=\frac{(t+1)^2}{t^2}q^{(25-t-1)-(25-t)}$$
$$R(t)=\frac{F(t+1)}{F(t)}=\frac{(t+1)^2}{qt^2}=\frac{(1+1/t)^2}{q}.$$
Когда положительное целое $t$ увеличивается, дробь $1/t$ уменьшается. Значит, $1+1/t$, её квадрат и всё отношение $R(t)$ уменьшаются. Поэтому достаточно найти место, где рост сменяется убыванием: до него все отношения больше 1, после — меньше 1.
По условию каждый год счёт увеличивается в $1+r$ раз, поэтому именно в этой задаче $q=1+r$; здесь $r$ уже доля прироста, а не число процентов. Для единственного лучшего года 21 нужны два строгих сравнения:
$$R(20)>1,\qquad R(21)<1.$$
Первое означает, что переход к нужному году выгоден:
$$\frac{21^2}{(1+r)20^2}>1,$$
Умножаем на положительный знаменатель и делим на положительный квадрат:
$$441>(1+r)400,$$
$$1+r<\frac{441}{400}.$$
Второе сравнение означает, что откладывать продажу ещё на год уже невыгодно:
$$\frac{22^2}{(1+r)21^2}<1,$$
$$1+r>\frac{484}{441}.$$
Вычитаем единицу из обеих границ:
$$r>\frac{484}{441}-1=\frac{484-441}{441}=\frac{43}{441},$$
$$r<\frac{441}{400}-1=\frac{441-400}{400}=0{,}1025.$$
Границы не включаем: на каждой из них два соседних года дали бы одинаковый результат, а требуется строго один лучший год. По убыванию $R(t)$ раньше нужного года сумма растёт, после него убывает; поэтому сравнение со всеми годами выполнено.
Ответ:
$$r\in(\frac{43}{441};0{,}1025).$$