ФИПИ DFEFEE — Оптимальный выбор

Нужно сравнить результаты продажи бумаг в разные целые годы. Если продать их в конце года $t$, выручка равна $t^2$ тысяч рублей. До конца 20-го года после этого пройдёт 20−$t$ начислений процентов. Обозначим множитель одного начисления через $q$. Тогда итог на счёте: $$F(t)=t^2q^{20-t},\qquad t=1,2,\ldots,20.$$ Не нужно вычислять все большие суммы по отдельности. Сравним результат следующего года с предыдущим. Если их отношение больше 1 — сумма выросла; если меньше 1 — уменьшилась. Для следующего года число начислений на одно меньше: $$F(t+1)=(t+1)^2q^{20-t-1}.$$ Делим выражения. При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются: $$\frac{F(t+1)}{F(t)}=\frac{(t+1)^2}{t^2}q^{(20-t-1)-(20-t)}$$ $$R(t)=\frac{F(t+1)}{F(t)}=\frac{(t+1)^2}{qt^2}=\frac{(1+1/t)^2}{q}.$$ Когда положительное целое $t$ увеличивается, дробь $1/t$ уменьшается. Значит, $1+1/t$, её квадрат и всё отношение $R(t)$ уменьшаются. Поэтому достаточно найти место, где рост сменяется убыванием: до него все отношения больше 1, после — меньше 1. По ставке из условия множитель одного начисления: $$q=1+\frac{25}{100}=1{,}25.$$ Проверяем переход к 9-му году и переход после него: $$R(8)=\frac{9^2}{1{,}25\cdot8^2}=\frac{81}{80}=1{,}0125>1,$$ $$R(9)=\frac{10^2}{1{,}25\cdot9^2}=\frac{100}{101{,}25}=\frac{80}{81}<1.$$ Отношение $R(t)$ уменьшается. Поэтому на всех более ранних переходах оно ещё больше 1 — сумма растёт. На всех более поздних переходах оно уже меньше 1 — сумма падает. Значит, наибольшая сумма будет при продаже в конце 9-го года. Ответ: 9.