ФИПИ E1812B — Оптимальный выбор

Нужно подобрать цену продажи, при которой строительство окупится не позднее трёх лет. Прибыль за каждый год должна покрывать как минимум треть затрат на строительство. Суммы прибыли считаем в миллионах рублей. Обозначим годовой выпуск через $x$ тысяч единиц; по смыслу $x\ge0$. В условии дана прибыль. Раскрываем скобки: $$\Pi(x)=px-(0{,}5x^2+2x+6)$$ $$\Pi(x)=-0{,}5x^2+(p-2)x-6.$$ Завод выбирает выпуск с наибольшей прибылью. Чтобы найти это значение, выделим полный квадрат: $$\Pi(x)=-\frac12\bigl(x^2-2(p-2)x\bigr)-6.$$ Добавляем и вычитаем $(p-2)^2$ внутри скобок: $$\Pi(x)=-\frac12\bigl((x-(p-2))^2-(p-2)^2\bigr)-6$$ $$\Pi(x)=-\frac12(x-(p-2))^2+\frac{(p-2)^2}{2}-6.$$ Квадрат неотрицателен, поэтому с отрицательным коэффициентом он уменьшает прибыль. Наибольшая прибыль достигается при нулевом квадрате, то есть $x=p-2$, если $p>2$. Если $p\le2$, то для $x\ge0$ оба слагаемых $-0{,}5x^2$ и $(p-2)x$ неположительны, а прибыль не больше −6; строительство не окупится. Значит, рассматриваем $p>2$. Для окупаемости 78 млн не позже трёх лет нужна годовая прибыль не меньше: $$78:3=26.$$ Подставляем формулу наибольшей прибыли и решаем неравенство: $$\frac{(p-2)^2}{2}-6\ge26,$$ Прибавляем 6 и умножаем на 2: $$\frac{(p-2)^2}{2}\ge32,$$ $$(p-2)^2\ge64.$$ Так как $p>2$, разность $p-2$ положительна. Поэтому условие на квадрат означает: $$p-2\ge8,\qquad p\ge10.$$ Проверим нижнюю границу. При $p=10$ оптимальный выпуск равен $10-2=8$ тысяч единиц. Прибыль: $$10\cdot8-(0{,}5\cdot8^2+2\cdot8+6)$$ $$80-(32+16+6)=80-54=26.$$ За три года эта прибыль даст $3\cdot26=78$ млн рублей — ровно стоимость строительства. Ответ: 10 тыс. рублей за единицу.