Уравнения с параметром — задание №18 ЕГЭ по математике

Ищем параметры, при которых решений либо нет, либо ровно одно. В уравнение входят симметричные модули, поэтому удобно сначала считать не знаки корней, а их расстояния от нуля. Введём неотрицательные числа: $$c=|a-3|\ge0,\qquad t=|x|\ge0.$$ Поясним сумму модулей. Замена знака у $x$ или у $a-3$ лишь меняет два модуля местами, поэтому можно считать оба числа неотрицательными. Если $t\le c$, то: $$|t-c|+|t+c|=(c-t)+(t+c)=2c.$$ Если $t\ge c$, то: $$|t-c|+|t+c|=(t-c)+(t+c)=2t.$$ Следовательно, исходное уравнение равносильно двум случаям: $$\begin{cases}t^4+c^2=2c,&0\le t\le c,\\t^4+c^2=2t,&t\ge c.\end{cases}$$ При $t=0$ получается только $x=0$. Каждое положительное $t$ даёт уже два разных корня $x=t$ и $x=-t$. Поэтому достаточно выяснить, когда положительных решений $t$ нет. Случай $c>2$. В первой области левая часть больше правой: $$t^4+c^2\ge c^2>2c,\qquad c^2-2c=c(c-2)>0.$$ Во второй области $t\ge c>2$, поэтому $t^3>8>2$. Умножаем на положительное $t$: $$t^4>2t,\qquad t^4+c^2>2t.$$ Решений нет; такие параметры подходят. Случай $c=2$. В первой области: $$t^4+4=4\ \Longrightarrow\ t^4=0\ \Longrightarrow\ t=0.$$ Во второй области $t\ge2$ имеем $t^3\ge8>2$, так что $t^4+4>2t$. Получен только $x=0$, и этот случай тоже подходит. Случай $0<c<2$. Рассмотрим непрерывную функцию: $$F(t)=t^4+c^2-2\max(t,c).$$ Она непрерывна, потому что обе формулы совпадают при $t=c$. На концах отрезка $[0;2]$ получаем: $$F(0)=c^2-2c=c(c-2)<0,$$ $$F(2)=16+c^2-4=12+c^2>0.$$ При непрерывном переходе от отрицательного значения к положительному функция обязательно принимает ноль между ними. Поэтому существует $t$ строго между 0 и 2, а ему отвечают два разных $x$. Параметр не подходит. Остался $c=0$. Уравнение упрощается: $$t^4=2t,\qquad t^4-2t=t(t^3-2)=0.$$ Отсюда $t=0$ или $t=\sqrt[3]2>0$, то есть три корня $x=0,\sqrt[3]2,-\sqrt[3]2$. Это не подходит. Итак, необходимо и достаточно $c\ge2$. Возвращаемся к параметру: $$|a-3|\ge2\ \Longleftrightarrow\ a-3\le-2\ \text{или}\ a-3\ge2,$$ $$a\le1\ \text{или}\ a\ge5.$$ На границах $a=1,5$ получен ровно один корень; за границами корней нет. Ответ: $(-\infty;1]\cup[5;+\infty)$.

Нужно четыре различных корня. Модуль раскрывается по знаку $x$, и на каждой стороне получается квадратное уравнение, у которого не больше двух корней. Поэтому нам нужны два положительных и два отрицательных корня. При $x>0$ подставим $|x|=x$, сложим $3x+9x=12x$ и умножим уравнение на $-1$: $$a^2-ax-2x^2-6a+12x=0,$$ $$2x^2+(a-12)x+6a-a^2=0.$$ При $x<0$ имеем $|x|=-x$, поэтому $3x-9x=-6x$: $$a^2-ax-2x^2-6a-6x=0,$$ $$2x^2+(a+6)x+6a-a^2=0.$$ Нулевой корень проверим отдельно: $$x=0:\quad a^2-6a=a(a-6)=0\ \Longrightarrow\ a=0\ \text{или}\ a=6.$$ Если ноль является корнем, он входит в обе квадратные формулы. У каждой тогда остаётся не более одного ненулевого корня, то есть всего не больше трёх. Значит, для четырёх корней ноль не подходит. Для квадратного уравнения $Ax^2+Bx+C=0$ при двух действительных корнях сумма равна $-B/A$, произведение $C/A$ (теорема Виета). Два положительных или два отрицательных числа имеют положительное произведение. Здесь в обеих ветвях: $$\frac{6a-a^2}{2}=\frac{a(6-a)}2>0.$$ Множители $a$ и $6-a$ одновременно положительны при $0<a<6$. Одновременно отрицательными они быть не могут. Вне этого интервала нужных двух корней одного знака нет. Проверим существование и различие корней с помощью дискриминантов: $$D_+=(a-12)^2-4\cdot2(6a-a^2)$$ $$D_+=a^2-24a+144-48a+8a^2=9a^2-72a+144$$ $$D_+=9(a^2-8a+16)=9(a-4)^2.$$ Он положителен при $a e4$. Для второй ветви: $$D_-=(a+6)^2-8(6a-a^2)$$ $$D_-=a^2+12a+36-48a+8a^2=9a^2-36a+36=9(a-2)^2.$$ Значит, необходимо также $a e2$. Убедимся в знаках действительных корней на $0<a<6$: $$x_1+x_2=\frac{12-a}2>0,\qquad z_1+z_2=-\frac{a+6}2<0.$$ Положительное произведение означает одинаковые знаки внутри каждой пары. Положительная сумма делает первую пару положительной, отрицательная сумму — вторую отрицательной. Все четыре корня допустимы, и положительный корень не может совпасть с отрицательным. При $a=2$ или $a=4$ одна пара сливается в один корень; при $a=0,6$ появляется общий ноль. Эти границы действительно исключены. Ответ: $(0;2)\cup(2;4)\cup(4;6)$.

Нужно ровно два различных корня. Модуль неотрицателен, поэтому правая часть тоже должна быть неотрицательной: $$2x-2a\ge0\ \Longleftrightarrow\ x\ge a.$$ На этой полупрямой равенство $|U|=V$ при $V\ge0$ равносильно $U=V$ или $U=-V$. Отдельных дополнительных условий на знак $U$ не требуется: выбранное равенство само определяет его знак. Получаем: $$x^2+a^2-6x+4a=2x-2a\ \Longleftrightarrow\ Q_1(x)=x^2-8x+a^2+6a=0,$$ $$x^2+a^2-6x+4a=-(2x-2a)\ \Longleftrightarrow\ Q_2(x)=x^2-4x+a^2+2a=0.$$ Выделим полные квадраты, добавляя к $x^2-8x$ число 16, а к $x^2-4x$ число 4: $$(x-4)^2=16-(a^2+6a)=25-(a+3)^2,$$ $$(x-2)^2=4-(a^2+2a)=5-(a+1)^2.$$ Первое уравнение имеет два корня при положительной правой части, один при нуле и ни одного при отрицательной. То же верно для второго. Неотрицательность правых частей даёт соответственно: $$a\in[-8;2]\quad\text{и}\quad a\in[-1-\sqrt5;-1+\sqrt5].$$ Внутри этих диапазонов центры корней 4 и 2 лежат правее разрешённой границы $x=a$. Чтобы узнать, какие корни попали вправо от неё, подставим границу в оба трёхчлена: $$Q_1(a)=(a)^2-8(a)+a^2+6a=2a^2-2a=2a(a-1),$$ $$Q_2(a)=(a)^2-4(a)+a^2+2a=2a^2-2a=2a(a-1).$$ Почему эта проверка считает корни? Квадратный трёхчлен со старшим коэффициентом $+1$ отрицателен между двумя корнями и положителен вне них. Если значение на границе отрицательно, граница между корнями: подходит только больший. Если положительно и центр пары правее границы, оба корня правее: подходят оба. Если значение равно нулю, один корень стоит на разрешённой границе, второй правее: оба подходят. При нулевой правой части уравнения в квадратах корень один, и он также справа от границы. При $a<0$ или $a>1$ граничное значение положительно; при $0<a<1$ отрицательно; при $a=0,1$ равно нулю. Корни разных ветвей могут совпасть только там, где одновременно $U=V$ и $U=-V$. Тогда $2V=0$, то есть $x=a$. Значит, совпадения бывают только при нулевом граничном значении. В этих двух случаях каждая ветвь даёт по два корня, но граничный общий, поэтому всего $2+2-1=3$. Соберём полный подсчёт. Вне диапазона существования соответствующая ветвь даёт ноль; на концах диапазона один корень; внутри — один или два по только что доказанному правилу. Получается: $$a<-8:0;$$ $$a=-8:1;$$ $$-8<a<-1-\sqrt5:2;$$ $$a=-1-\sqrt5:3;$$ $$-1-\sqrt5<a<0:4;$$ $$a=0:3;$$ $$0<a<1:2;$$ $$a=1:3;$$ $$1<a<-1+\sqrt5:4;$$ $$a=-1+\sqrt5:3;$$ $$-1+\sqrt5<a<2:2;$$ $$a=2:1;$$ $$a>2:0.$$ Из перечисленных случаев выбираем только нужное число различных корней. Все границы уже посчитаны отдельно, поэтому ответ: $$a\in (-8;-1-\sqrt5)\cup(0;1)\cup(-1+\sqrt5;2).$$

Требуется ровно два разных корня. Выражение $x+4/x$ повторяется, поэтому заменим его одной буквой. Сначала область определения: $x e0$. Введём: $$t=x+\frac4x.$$ Чтобы понять, сколько $x$ даёт каждое $t$, умножим это равенство на ненулевой $x$ и перенесём всё влево: $$tx=x^2+4,\qquad x^2-tx+4=0.$$ Дискриминант равен: $$D_x=(-t)^2-4\cdot1\cdot4=t^2-16.$$ Если $|t|<4$, дискриминант отрицателен и корней $x$ нет. Если $t=\pm4$, корень один. Если $|t|>4$, корня два. Ни один из них не равен нулю: при $x=0$ левая часть квадратного уравнения равна 4. После замены исходное уравнение имеет вид: $$at^2+2t-25a+10=0.$$ Разложение получим группировкой: $$at^2-25a+2t+10=a(t^2-25)+2(t+5)$$ $$=a(t-5)(t+5)+2(t+5)=(t+5)(a(t-5)+2).$$ Первый множитель всегда даёт $t=-5$. Найдём соответствующие $x$: $$x^2+5x+4=0,\qquad x^2+5x+4=x(x+1)+4(x+1)=(x+1)(x+4).$$ Уже получены два корня $x=-1,-4$. Поэтому второй множитель не должен добавлять новых $x$. При $a=0$ второй множитель равен 2 и никогда не обращается в ноль. Остаются ровно два корня: $a=0$ подходит. При $a e0$: $$a(t-5)+2=0\ \Longrightarrow\ a(t-5)=-2\ \Longrightarrow\ t=5-\frac2a.$$ Этот уровень не добавляет корней либо когда он лежит строго между $-4$ и 4, либо когда совпадает с уже учтённым $-5$. Уровни $\pm4$ добавляют по одному новому корню и не подходят. Решим первое условие: $$-4<5-\frac2a<4\ \Longleftrightarrow\ -9<-\frac2a<-1\ \Longleftrightarrow\ 1<\frac2a<9.$$ Из положительности $2/a$ следует $a>0$. Теперь можем умножать на $a$ без смены знаков: $$a<2<9a\ \Longleftrightarrow\ a<2\ \text{и}\ a>\frac29.$$ Для совпадения уровней: $$5-\frac2a=-5\ \Longleftrightarrow\ \frac2a=10\ \Longleftrightarrow\ 2=10a\ \Longleftrightarrow\ a=\frac15.$$ Разным уровням $t$ не может соответствовать один и тот же $x$, поскольку выражение $x+4/x$ при фиксированном $x$ имеет одно значение. Поэтому никаких скрытых совпадений больше нет. Ответ: $\{0;1/5\}\cup(2/9;2)$.

Нужно получить ровно два различных корня дробного уравнения. Дробь равна нулю только при двух одновременных условиях: её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Поэтому сначала найдём все корни числителя, затем проверим каждый в знаменателе. Приравниваем числитель к нулю и прибавляем $a^2$ к обеим частям: $$4x^2-a^2=0,$$ $$4x^2=a^2.$$ Левая часть — квадрат произведения. Одинаковые квадраты получаются у равных или противоположных чисел: $$(2x)^2=a^2,$$ $$2x=a\quad\text{или}\quad 2x=-a.$$ Делим обе ветви на 2: $$x_1=\frac a{2},\qquad x_2=-\frac a{2}.$$ Сначала проверяем, когда два кандидата совпадают: $$\frac a{2}=-\frac a{2},\qquad a=-a,\qquad2a=0,\qquad a=0.$$ При $a=0$ есть лишь один кандидат $x=0$. Знаменатель в нём равен $9 e0$, то есть корень один, а нужны два. Поэтому $a=0$ исключаем. Теперь проверяем допустимость обоих кандидатов. Обозначим знаменатель через $D(x)$. По формуле квадрата суммы: $$D(x)=x^2+6x+9-a^2=(x+3)^2-a^2.$$ Подставляем $x=\frac a{2}$. Отрицательное число в квадрате даёт тот же квадрат, а линейный член сохраняет знак: $$D\left(\frac a{2}\right)=\frac{a^2}{4}+\frac{6a}{2}+9-a^2.$$ Приводим слагаемые к общему знаменателю 4: $$D\left(\frac a{2}\right)=\frac{a^2+12a+36-4a^2}{4}$$ $$D\left(\frac a{2}\right)=\frac{-3a^2+12a+36}{4}.$$ Кандидат запрещён, когда эта дробь равна нулю. Её знаменатель ненулевой; решаем квадратное уравнение для числителя: $$-3a^2+12a+36=0.$$ Дискриминант и его квадратный корень: $$\Delta=(12)^2-4\cdot(-3)\cdot36=144+432=576,$$ $$\sqrt\Delta=24.$$ Подставляем в формулу корней и вычисляем оба значения: $$a=\frac{-(12)\pm24}{2\cdot(-3)},$$ $$a_1=\frac{12}{-6}=-2,\qquad a_2=\frac{-36}{-6}=6.$$ Эти значения исключаем, потому что один из двух найденных кандидатов обнуляет знаменатель. Подставляем $x=-\frac a{2}$. Отрицательное число в квадрате даёт тот же квадрат, а линейный член сохраняет знак: $$D\left(-\frac a{2}\right)=\frac{a^2}{4}-\frac{6a}{2}+9-a^2.$$ Приводим слагаемые к общему знаменателю 4: $$D\left(-\frac a{2}\right)=\frac{a^2-12a+36-4a^2}{4}$$ $$D\left(-\frac a{2}\right)=\frac{-3a^2-12a+36}{4}.$$ Кандидат запрещён, когда эта дробь равна нулю. Её знаменатель ненулевой; решаем квадратное уравнение для числителя: $$-3a^2-12a+36=0.$$ Дискриминант и его квадратный корень: $$\Delta=(-12)^2-4\cdot(-3)\cdot36=144+432=576,$$ $$\sqrt\Delta=24.$$ Подставляем в формулу корней и вычисляем оба значения: $$a=\frac{-(-12)\pm24}{2\cdot(-3)},$$ $$a_1=\frac{36}{-6}=2,\qquad a_2=\frac{-12}{-6}=-6.$$ Эти значения исключаем, потому что один из двух найденных кандидатов обнуляет знаменатель. Объединяем все запреты. Если параметр не входит в этот список, кандидаты различны и знаменатель в обоих ненулевой. Поэтому оба являются корнями исходного уравнения. Других корней нет, поскольку числитель квадратный и уже решён полностью. Ответ: $$a\in\mathbb R\setminus\{-6,-2,0,2,6\}.$$

Нужно ровно два разных $x$. Повторяющееся выражение обозначим через $t=f_a(x)$: $$f_a(x)=4x+|x-a|-|3x+1|,\qquad t^2-(a+1)t+1=0.$$ Сначала выясним, сколько $x$ даёт каждый уровень $t$. Модули меняют формулы при $x=a$ и $x=-1/3$. Их порядок зависит от $a$. Если $a<-1/3$, последовательно раскрываем оба модуля: $$x<a:\ f_a=4x+(a-x)-(-3x-1)=6x+a+1;$$ $$a\le x<-1/3:\ f_a=4x+(x-a)-(-3x-1)=8x-a+1;$$ $$x\ge-1/3:\ f_a=4x+(x-a)-(3x+1)=2x-a-1.$$ Все три коэффициента при $x$ положительны: 6, 8, 2. Формулы совпадают на стыках, функция непрерывна и строго возрастает от минус бесконечности до плюс бесконечности. Поэтому каждому действительному уровню отвечает ровно один $x$. Если $a\ge-1/3$, порядок точек другой: $$x<-1/3:\ f_a=6x+a+1;$$ $$-1/3\le x\le a:\ f_a=4x+(a-x)-(3x+1)=a-1;$$ $$x>a:\ f_a=2x-a-1.$$ Левая часть принимает все уровни ниже $a-1$ ровно один раз, правая — все уровни выше $a-1$ ровно один раз. Если $a>-1/3$, самому уровню $a-1$ соответствует целый отрезок, то есть бесконечно много $x$. При $a=-1/3$ отрезок сжимается в одну точку; этот параметр проверим дискриминантом. Теперь решаем вопрос о двух уровнях $t$. Дискриминант: $$D=(-(a+1))^2-4=(a+1)^2-4$$ $$D=a^2+2a+1-4=a^2+2a-3=(a-1)(a+3).$$ При $-3<a<1$ он отрицателен: уровней нет, в том числе при $a=-1/3$. При $a=-3$ или $a=1$ уровень один: $$t=\frac{a+1}2:\quad a=-3\Rightarrow t=-1;\qquad a=1\Rightarrow t=1.$$ При $a=-3$ функция строго возрастает, поэтому $x$ один. При $a=1$ постоянный уровень равен $a-1=0$, не 1, поэтому $x$ снова один. Границы не подходят. Два различных уровня существуют при $a<-3$ или $a>1$. Для $a<-3$ каждый даёт один $x$, значит, все эти параметры подходят. Для $a>1$ надо исключить попадание уровня на постоянный участок. Подставим $t=a-1$ в квадратный многочлен: $$(a-1)^2-(a+1)(a-1)+1$$ $$=a^2-2a+1-(a^2-1)+1=3-2a.$$ Уровень становится корнем при: $$3-2a=0\ \Longrightarrow\ a=\frac32.$$ Тогда $x$ бесконечно много, поэтому параметр запрещён. При всех остальных $a>1$ оба различных уровня имеют по одному прообразу. Ответ: $(-\infty;-3)\cup(1;3/2)\cup(3/2;+\infty)$.

Нужно получить одно различное решение на заданном отрезке. Из-за тангенса сначала исключаем точки, где он не определён: $\tan x=\sin x/\cos x$, поэтому требуется $\cos x\ne0$. Обозначим $u=2x+a$. Разность квадратов раскладывается как $(A-B)(A+B)$. Края отрезка $-\pi/2$ и $\pi/2$ запрещены тангенсом. Реальная область поиска: $$-\frac\pi2<x<\frac\pi2.$$ Берём $A=u+1+\tan x$, $B=u-1-\tan x$. Их сумма и разность: $$A-B=2+2\tan x=2(1+\tan x),\qquad A+B=2u.$$ Уравнение после разложения: $$4u(1+\tan x)=0,$$ $$(2x+a)(1+\tan x)=0.$$ Один множитель даёт постоянный корень: $$1+\tan x=0,\quad\tan x=-1,\quad x=-\frac\pi4.$$ На открытом промежутке тангенс строго возрастает, поэтому других решений этой ветви нет. Корень всегда допустим. Другой множитель даёт кандидата, зависящего от параметра: $$2x+a=0,\quad2x=-a,\quad x=-\frac a2.$$ Он попадает в область поиска, когда: $$-\frac\pi2<-\frac a2<\frac\pi2.$$ Умножаем на −2. При умножении неравенств на отрицательное число оба знака меняются: $$\pi>a>-\pi,\quad -\pi<a<\pi.$$ Поэтому при $a\le-\pi$ или $a\ge\pi$ второго корня нет: остаётся один постоянный корень. Внутри этого диапазона второй кандидат обычно добавляет второй корень. Единственное исключение — совпадение: $$-\frac a2=-\frac\pi4,\quad a=\frac\pi2.$$ Края параметрического промежутка включаем: при них переменный кандидат попадает в запрещённый край отрезка. Ответ: $$a\in(-\infty;-\pi]\cup\{\frac\pi2\}\cup[\pi;+\infty).$$

Нужно получить одно различное решение на заданном отрезке. Из-за тангенса сначала исключаем точки, где он не определён: $\tan x=\sin x/\cos x$, поэтому требуется $\cos x\ne0$. Обозначим $u=2x+a$. Разность квадратов раскладывается как $(A-B)(A+B)$. На отрезке $[0;\pi]$ тангенс запрещён только при $x=\pi/2$. Берём $A=u+1-\tan x$, $B=u-1+\tan x$. Тогда: $$A-B=2(1-\tan x),\qquad A+B=2u.$$ После разложения и деления на 4: $$(2x+a)(1-\tan x)=0.$$ Постоянный кандидат: $$\tan x=1,\qquad x=\frac\pi4+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$ На отрезке $[0;\pi]$ подходит только $n=0$, то есть $x=\pi/4$. Переменный кандидат: $$2x+a=0,\quad2x=-a,\quad x=-\frac a2.$$ Чтобы он не добавил второй корень, он должен оказаться вне отрезка, в запрещённой точке или совпасть с постоянным корнем. Первая возможность: $$-\frac a2<0\quad\text{или}\quad-\frac a2>\pi.$$ Умножая на отрицательное число −2, меняем направления знаков: $$a>0\quad\text{или}\quad a<-2\pi.$$ Вторая возможность — попасть в запрещённую точку: $$-\frac a2=\frac\pi2,\qquad a=-\pi.$$ Третья — совпасть с постоянным корнем: $$-\frac a2=\frac\pi4,\qquad a=-\frac\pi2.$$ При $a=0$ переменный кандидат равен 0, а при $a=-2\pi$ равен $\pi$. Оба края определены и отличаются от $\pi/4$, поэтому эти границы не подходят. Во всех других случаях переменный кандидат определён, принадлежит отрезку и добавляет второй корень. Ответ: $$a\in(-\infty;-2\pi)\cup\{-\pi;-\frac\pi2\}\cup(0;+\infty).$$

Нужно ровно два различных корня. Модуль относится к выражению $x+1$, поэтому обозначим его через $t$: $$t=x+1,\qquad x=t-1.$$ Замена взаимно однозначна: каждому $t$ отвечает ровно один $x$. Подставляем: $$t|t|=2(t-1)-a=2t-2-a,$$ $$t|t|-2t=-a-2.$$ Обозначим правую часть через $b=-a-2$. Найдём, сколько раз левая часть принимает значение $b$. При $t\ge0$ раскрываем $|t|=t$ и выделяем квадрат: $$t|t|-2t=t^2-2t=t^2-2t+1-1=(t-1)^2-1.$$ На $[0;1]$ квадрат $(t-1)^2$ уменьшается от 1 до 0, а после 1 растёт без ограничения. Поэтому ветвь идёт от 0 до минимума $-1$, затем вверх. При $t<0$ имеем $|t|=-t$: $$t|t|-2t=-t^2-2t=-(t^2+2t+1)+1=1-(t+1)^2.$$ Эта ветвь возрастает до максимума 1 при $t=-1$, затем убывает к 0. Сам $t=0$ учитываем только в первой ветви. Подсчитаем корни по уровням. Если $b<-1$, положительная ветвь недостижима, а отрицательная даёт один корень слева от $-1$. Если $b>1$, отрицательная ветвь недостижима, а положительная даёт один корень справа от 1. При $-1<b<0$ положительная ветвь пересекает уровень дважды, отрицательная — один раз. При $0<b<1$ положительная даёт один корень, отрицательная два: в обоих случаях всего три. При $b=0$ проверим вычислением: $$t\ge0:\ t^2-2t=t(t-2)=0\ \Longrightarrow\ t=0,2;$$ $$t<0:\ -t^2-2t=-t(t+2)=0\ \Longrightarrow\ t=-2.$$ Снова три корня. Остались граничные уровни $b=-1$ и $b=1$. При $b=-1$: $$t\ge0:\ (t-1)^2-1=-1\ \Longrightarrow\ t=1;$$ $$t<0:\ 1-(t+1)^2=-1\ \Longrightarrow\ (t+1)^2=2\ \Longrightarrow\ t=-1\pm\sqrt2.$$ Из последних двух значений только $-1-\sqrt2$ отрицательно; $-1+\sqrt2>0$ не относится к своей ветви. Всего два. При $b=1$: $$t<0:\ 1-(t+1)^2=1\ \Longrightarrow\ t=-1;$$ $$t\ge0:\ (t-1)^2-1=1\ \Longrightarrow\ t=1\pm\sqrt2.$$ Только $1+\sqrt2$ неотрицательно: снова два корня. Все уровни рассмотрены, поэтому нужны только $b=\pm1$. Возвращаемся к $a$: $$-a-2=-1\ \Longrightarrow\ a=-1;\qquad -a-2=1\ \Longrightarrow\ a=-3.$$ Ответ: $a\in\{-3;-1\}$.

Нужно получить ровно один корень на отрезке $[0;1]$. Сначала найдём все возможные корни, а затем для каждого параметра проверим, какие из них определены и лежат на отрезке. Логарифм существует только при положительном аргументе: $$x+2a>0.$$ Переносим квадрат правой части влево. Применяем разность квадратов $A^2-B^2=(A-B)(A+B)$. Здесь $A=2x+\ln(x+2a)$, $B=2x-\ln(x+2a)$. Вычисляем разность и сумму: $$A-B=2\ln(x+2a),\qquad A+B=4x.$$ Подставляем в разложение и делим на ненулевую константу: $$8x\ln(x+2a)=0,$$ $$x\ln(x+2a)=0.$$ Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю. Первая ветвь — $x=0$. Этот корень лежит на заданном отрезке, но его ещё должен допускать логарифм: $$0+2a>0,\qquad a>0.$$ Вторая ветвь — нулевой логарифм. Логарифм числа 1 равен нулю, и других таких положительных аргументов нет: $$\ln(x+2a)=0,\qquad x+2a=1,\qquad x=1-2a.$$ В этой точке аргумент уже равен 1, поэтому область определения соблюдена. Осталось попасть в отрезок: $$0\le1-2a\le1.$$ Решаем два неравенства по отдельности: $$1-2a\ge0,\qquad 2a\le1,\qquad a\le0{,}5,$$ $$1-2a\le1,\qquad -2a\le0,\qquad a\ge0.$$ Значит, второй кандидат существует при: $$0\le a\le0{,}5.$$ Теперь считаем именно различные корни. При $a<0$ ни один кандидат не допускается. При $a=0$ нулевой кандидат запрещён логарифмом, зато второй равен 1: корень один. При $0<a<0{,}5$ ноль допустим, и второй кандидат лежит строго между 0 и 1: корней два. В правой граничной точке кандидаты совпадают: $$a=0{,}5:\quad x_2=1-2\cdot0{,}5=0=x_1.$$ Это один различный корень. При $a>0{,}5$ второй кандидат отрицателен и выходит за отрезок, а $x=0$ остаётся допустимым. Поэтому подходят отдельное значение 0 и весь промежуток, начиная с правой границы. Ответ: $$a\in\{0\}\cup[0{,}5;+\infty).$$

Нужно посчитать нули произведения, одновременно сохранив область определения логарифма и корня. Начнём с ограничений, а затем получим двух кандидатов. Логарифм требует положительного аргумента. На заданном отрезке это означает: $$4x-1>0,\quad4x>1,\quad x>\frac14,\qquad x\le3.$$ В подкоренном выражении выделяем квадраты. Проверяем раскрытие скобок: $$(x-3)^2-(a-3)^2=(x^2-6x+9)-(a^2-6a+9)$$ $$(x-3)^2-(a-3)^2=x^2-6x+6a-a^2.$$ Обозначим $b=|a-3|\ge0$. Условие корня: $$(x-3)^2\ge b^2.$$ Так как $x\le3$, разность $3-x$ неотрицательна. Поэтому сравнение квадратов равносильно сравнению неотрицательных величин: $$3-x\ge b,\quad x\le3-b.$$ Общая область определения на отрезке: $$\frac14<x\le3-b.$$ Она непуста только при $3-b>1/4$. Вычитаем $1/4$ и переносим $b$: $$b<3-\frac14=\frac{11}{4}.$$ Первый множитель равен нулю, когда его аргумент равен 1: $$\ln(4x-1)=0,\quad4x-1=1,\quad4x=2,\quad x_1=\frac12.$$ Этот кандидат допустим тогда и только тогда, когда он не правее верхней границы области: $$\frac12\le3-b,\quad b\le3-\frac12=\frac52.$$ Второй множитель равен нулю, когда подкоренное выражение равно нулю: $$(3-x)^2=b^2,\quad3-x=b,\quad x_2=3-b.$$ Он всегда находится на правой границе области определения, если та непуста. При $0\le b<5/2$ имеем $x_2>1/2$: оба кандидата допустимы и различны, значит, корней два. При $b=5/2$ они совпадают в $1/2$, и корень один. При $5/2<b<11/4$ кандидат $1/2$ уже не входит в область, но $x_2$ остаётся: тоже один корень. При $b\ge11/4$ область пуста. Получаем условие и возвращаемся к исходному параметру: $$\frac52\le b<\frac{11}{4},\qquad\frac52\le|a-3|<\frac{11}{4}.$$ Справа от 3 модуль равен $a-3$. Прибавляем 3 к границам: $$\frac52\le a-3<\frac{11}{4},\qquad\frac{11}{2}\le a<\frac{23}{4}.$$ Слева от 3 модуль равен $3-a$. Вычитание из 3 меняет порядок границ: $$\frac52\le3-a<\frac{11}{4},\qquad\frac14<a\le\frac12.$$ Ответ: $$a\in(\frac14;\frac12]\cup[\frac{11}{2};\frac{23}{4}).$$

Нужно ровно четыре различных корня. Модуль неотрицателен, поэтому правая часть тоже должна быть неотрицательной: $$2x+2a\ge0\ \Longleftrightarrow\ x\ge -a.$$ На этой полупрямой равенство $|U|=V$ при $V\ge0$ равносильно $U=V$ или $U=-V$. Отдельных дополнительных условий на знак $U$ не требуется: выбранное равенство само определяет его знак. Получаем: $$x^2+a^2-6x-4a=2x+2a\ \Longleftrightarrow\ Q_1(x)=x^2-8x+a^2-6a=0,$$ $$x^2+a^2-6x-4a=-(2x+2a)\ \Longleftrightarrow\ Q_2(x)=x^2-4x+a^2-2a=0.$$ Выделим полные квадраты, добавляя к $x^2-8x$ число 16, а к $x^2-4x$ число 4: $$(x-4)^2=16-(a^2-6a)=25-(a-3)^2,$$ $$(x-2)^2=4-(a^2-2a)=5-(a-1)^2.$$ Первое уравнение имеет два корня при положительной правой части, один при нуле и ни одного при отрицательной. То же верно для второго. Неотрицательность правых частей даёт соответственно: $$a\in[-2;8]\quad\text{и}\quad a\in[1-\sqrt5;1+\sqrt5].$$ Внутри этих диапазонов центры корней 4 и 2 лежат правее разрешённой границы $x=-a$. Чтобы узнать, какие корни попали вправо от неё, подставим границу в оба трёхчлена: $$Q_1(-a)=(-a)^2-8(-a)+a^2-6a=2a^2+2a=2a(a+1),$$ $$Q_2(-a)=(-a)^2-4(-a)+a^2-2a=2a^2+2a=2a(a+1).$$ Почему эта проверка считает корни? Квадратный трёхчлен со старшим коэффициентом $+1$ отрицателен между двумя корнями и положителен вне них. Если значение на границе отрицательно, граница между корнями: подходит только больший. Если положительно и центр пары правее границы, оба корня правее: подходят оба. Если значение равно нулю, один корень стоит на разрешённой границе, второй правее: оба подходят. При нулевой правой части уравнения в квадратах корень один, и он также справа от границы. При $a<-1$ или $a>0$ граничное значение положительно; при $-1<a<0$ отрицательно; при $a=-1,0$ равно нулю. Корни разных ветвей могут совпасть только там, где одновременно $U=V$ и $U=-V$. Тогда $2V=0$, то есть $x=-a$. Значит, совпадения бывают только при нулевом граничном значении. В этих двух случаях каждая ветвь даёт по два корня, но граничный общий, поэтому всего $2+2-1=3$. Соберём полный подсчёт. Вне диапазона существования соответствующая ветвь даёт ноль; на концах диапазона один корень; внутри — один или два по только что доказанному правилу. Получается: $$a<-2:0;$$ $$a=-2:1;$$ $$-2<a<1-\sqrt5:2;$$ $$a=1-\sqrt5:3;$$ $$1-\sqrt5<a<-1:4;$$ $$a=-1:3;$$ $$-1<a<0:2;$$ $$a=0:3;$$ $$0<a<1+\sqrt5:4;$$ $$a=1+\sqrt5:3;$$ $$1+\sqrt5<a<8:2;$$ $$a=8:1;$$ $$a>8:0.$$ Из перечисленных случаев выбираем только нужное число различных корней. Все границы уже посчитаны отдельно, поэтому ответ: $$a\in (1-\sqrt5;-1)\cup(0;1+\sqrt5).$$

Требуется ровно два различных корня. Для удобства обозначим исходную переменную через $z$; её значение не меняется. Уравнение: $$z^2+a^2-z-7a=|7z-a|.$$ Раскрываем модуль по знаку $7z-a$. При $z\ge a/7$: $$z^2+a^2-z-7a=7z-a\ \Longleftrightarrow\ Q_1(z)=z^2-8z+a^2-6a=0.$$ При $z\le a/7$: $$z^2+a^2-z-7a=-7z+a\ \Longleftrightarrow\ Q_2(z)=z^2+6z+a^2-8a=0.$$ Выделим полные квадраты: $$(z-4)^2=16-a^2+6a=25-(a-3)^2,$$ $$(z+3)^2=9-a^2+8a=25-(a-4)^2.$$ Первый корень под квадратом неотрицателен при: $$|a-3|\le5\ \Longleftrightarrow\ -2\le a\le8.$$ Второй — при: $$|a-4|\le5\ \Longleftrightarrow\ -1\le a\le9.$$ Внутри диапазонов каждая пара имеет два корня, на концах — один. Но нужно сохранить только корни своей полупрямой. Центр первой пары равен 4 и при $a\le8$ правее границы $a/7$; центр второй равен $-3$ и при $a\ge-1$ левее этой границы. Подставим общую границу в оба многочлена: $$Q_1(a/7)=\frac{a^2}{49}-\frac{8a}7+a^2-6a$$ $$=\frac{a^2-56a+49a^2-294a}{49}=\frac{50a^2-350a}{49}=\frac{50a(a-7)}{49},$$ $$Q_2(a/7)=\frac{a^2}{49}+\frac{6a}7+a^2-8a$$ $$=\frac{a^2+42a+49a^2-392a}{49}=\frac{50a(a-7)}{49}.$$ Если граничное значение отрицательно ($0<a<7$), граница между корнями: от первой ветви остаётся больший, от второй меньший — всего два. Если значение положительно ($a<0$ или $a>7$), граница вне каждой пары. Поскольку центры расположены на разрешённых сторонах, при наличии двух корней они оба подходят. Если значение нулевое ($a=0$ или $a=7$), граница сама корень обеих ветвей: вместе с двумя другими корнями всего три. Больше общих корней ветвей нет: обе формулы модуля могут совпасть только при $7z-a=0$. Теперь перечислим все интервалы и границы. $$a<-2:0;$$ $$a=-2:1;$$ $$-2<a<-1:2;$$ $$a=-1:3;$$ $$-1<a<0:4;$$ $$a=0:3;$$ $$0<a<7:2;$$ $$a=7:3;$$ $$7<a<8:4;$$ $$a=8:3;$$ $$8<a<9:2;$$ $$a=9:1;$$ $$a>9:0.$$ Например, при $a=-1$ первая ветвь даёт два корня, вторая один двойной: всего три; при $a=8$ роли меняются. Эти граничные точки нельзя определить только по открытым интервалам, поэтому они проверены отдельно. Выбираем число корней 2. Ответ: $$a\in (-2;-1)\cup(0;7)\cup(8;9).$$

Нужно найти параметры, при которых получается ровно два различных числа $x$. Для этого сначала разложим многочлен на множители, затем выпишем возможные корни каждого множителя. После этого отдельно учтём, когда корни существуют и когда совпадают. Переносим всё в левую часть и приводим подобные слагаемые. Исходное уравнение равносильно: $$a^{2} x^{2} - a^{2} x - a x^{4} + a x^{3} + a x - a - x^{3} + x^{2}=0.$$ Сначала проверим постоянного кандидата $x=1$. Подстановка в многочлен даёт нуль при любом $a$. По теореме Безу можно вынести множитель $x - 1$. Чтобы показать само деление, последовательно вычитаем произведения делителя на очередной член частного. $$(a^{2} x^{2} - a^{2} x - a x^{4} + a x^{3} + a x - a - x^{3} + x^{2})-(- a x^{3})(x - 1)=a^{2} x^{2} - a^{2} x + a x - a - x^{3} + x^{2}.$$ $$(a^{2} x^{2} - a^{2} x + a x - a - x^{3} + x^{2})-(- x^{2})(x - 1)=a^{2} x^{2} - a^{2} x + a x - a.$$ $$(a^{2} x^{2} - a^{2} x + a x - a)-(a^{2} x)(x - 1)=a x - a.$$ $$(a x - a)-(a)(x - 1)=0.$$ Остаток равен нулю. Полученное частное: $$a^{2} x^{2} - a^{2} x - a x^{4} + a x^{3} + a x - a - x^{3} + x^{2}=(x - 1)(a^{2} x - a x^{3} + a - x^{2}).$$ В оставшемся выражении сгруппируем слагаемые так, чтобы в обеих группах получилась одна и та же скобка. Раскрытие двух произведений ниже даёт именно предыдущее частное: $$a^{2} x - a x^{3} + a - x^{2}=(- a x)(- a + x^{2})+(-1)(- a + x^{2}),$$ Выносим общую скобку: $$a^{2} x - a x^{3} + a - x^{2}=(-1)(a x + 1)(- a + x^{2}).$$ Уравнение полностью разложено: $$- \left(- a + x^{2}\right) \left(x - 1\right) \left(a x + 1\right)=0.$$ Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю. Кратность корня нам не нужна: одно и то же число при совпадении считаем один раз. Множитель 1: $$x - 1=0,$$ Переносим свободное слагаемое, затем делим на коэффициент при $x$: $$1x=1,$$ $$x=1.$$ Множитель 2: $$a x + 1=0,$$ Переносим свободное слагаемое, затем делим на коэффициент при $x$: $$ax=-1,$$ $$x=- \frac{1}{a}.$$ При $a=0$ коэффициент при $x$ равен нулю. Сам множитель тогда равен $1$, поэтому этот множитель не даёт корней. Множитель 3 — квадратное уравнение: $$- a + x^{2}=0.$$ Коэффициенты и дискриминант: $$A=1,\quad B=0,\quad C=- a,$$ $$D=(0)^2-4(1)(- a)=4 a.$$ При $D<0$ действительных корней нет; при $D=0$ один корень, при $D>0$ два. Подстановка в формулу корней даёт: $$x=\frac{-(0)\pm\sqrt{4 a}}{2(1)},$$ $$x=- \sqrt{a}\quad\text{или}\quad x=\sqrt{a}.$$ Проверим совпадение кандидата $x=1$ с корнем множителя $a x + 1$. Подставляем его в этот множитель: $$a + 1=0.$$ В области, где кандидат определён, знаменатель ненулевой. Поэтому нужно решить уравнение для числителя: $$a + 1=a + 1=0.$$ Его действительные решения по параметру: $a=-1$. Проверим совпадение кандидата $x=1$ с корнем множителя $- a + x^{2}$. Подставляем его в этот множитель: $$1 - a=0.$$ В области, где кандидат определён, знаменатель ненулевой. Поэтому нужно решить уравнение для числителя: $$1 - a=1 - a=0.$$ Его действительные решения по параметру: $a=1$. Проверим совпадение кандидата $x=- \frac{1}{a}$ с корнем множителя $- a + x^{2}$. Подставляем его в этот множитель: $$- \frac{\left(a - 1\right) \left(a^{2} + a + 1\right)}{a^{2}}=0.$$ В области, где кандидат определён, знаменатель ненулевой. Поэтому нужно решить уравнение для числителя: $$1 - a^{3}=- \left(a - 1\right) \left(a^{2} + a + 1\right)=0.$$ Его действительные решения по параметру: $a=1$. Это все значения, при которых может измениться число различных действительных корней: дискриминант становится нулём, линейный множитель перестаёт зависеть от $x$ или два кандидата совпадают. Между соседними такими значениями ни одно из событий не происходит. Поэтому на каждом открытом промежутке число корней постоянно. Разберём все промежутки и все граничные значения отдельно. $$a\in(-\infty;-1): \quad N=1+1+0=2.$$ Здесь слагаемые — количества действительных корней множителей в порядке их перечисления. Совпадений внутри промежутка нет, поскольку все параметры совпадения уже вынесены в границы. На границе подставляем параметр в множители и объединяем полученные корни: $$a=-1:\quad \left(x - 1\right)^{2} \left(x^{2} + 1\right)=0,$$ $$x\in\{1\},\quad N=1.$$ $$a\in(-1;0): \quad N=1+1+0=2.$$ Здесь слагаемые — количества действительных корней множителей в порядке их перечисления. Совпадений внутри промежутка нет, поскольку все параметры совпадения уже вынесены в границы. На границе подставляем параметр в множители и объединяем полученные корни: $$a=0:\quad - x^{2} \left(x - 1\right)=0,$$ $$x\in\{0,1\},\quad N=2.$$ $$a\in(0;1): \quad N=1+1+2=4.$$ Здесь слагаемые — количества действительных корней множителей в порядке их перечисления. Совпадений внутри промежутка нет, поскольку все параметры совпадения уже вынесены в границы. На границе подставляем параметр в множители и объединяем полученные корни: $$a=1:\quad - \left(x - 1\right)^{2} \left(x + 1\right)^{2}=0,$$ $$x\in\{-1,1\},\quad N=2.$$ $$a\in(1;+\infty): \quad N=1+1+2=4.$$ Здесь слагаемые — количества действительных корней множителей в порядке их перечисления. Совпадений внутри промежутка нет, поскольку все параметры совпадения уже вынесены в границы. Выбираем только строки, где число различных корней равно двум, и объединяем найденные параметры. Ответ: $$a\in \left(-\infty, -1\right) \cup \left(-1, 0\right] \cup \left\{1\right\}.$$

Ищем параметры, при которых корней меньше четырёх. После раскрытия модуля на каждой полуоси получается квадратное уравнение, поэтому корней в сумме не больше четырёх. Найдём, когда четыре корня действительно существуют, и возьмём остальные параметры. При $x\ge0$ имеем $|x|=x$. Складываем $-3x+9x=6x$: $$a^2+ax-2x^2-6a+6x=0.$$ Разложим выражение группировкой, разделив $ax$ на $2ax-ax$: $$a^2+2ax-ax-2x^2-6a+6x$$ $$=a(a+2x)-x(a+2x)-6(a-x)$$ $$=(a-x)(a+2x)-6(a-x)=(a-x)(a+2x-6).$$ Поэтому один из множителей равен нулю: $$a-x=0\ \Longrightarrow\ x=a\quad(a\ge0),$$ $$a+2x-6=0\ \Longrightarrow\ 2x=6-a\ \Longrightarrow\ x=3-\frac a2\quad(a\le6).$$ Условия в скобках получены из требования $x\ge0$. При $x<0$ подставим $|x|=-x$ и сложим $-3x-9x=-12x$: $$a^2+ax-2x^2-6a-12x=0.$$ Снова группируем: $$a^2-ax+2ax-2x^2-6a-12x$$ $$=a(a-x)+2x(a-x)-6(a+2x)$$ $$=(a+2x)(a-x)-6(a+2x)=(a+2x)(a-x-6).$$ $$a+2x=0\ \Longrightarrow\ x=-\frac a2\quad(a>0),$$ $$a-x-6=0\ \Longrightarrow\ x=a-6\quad(a<6).$$ Строгие условия нужны потому, что эту ветвь рассматриваем только при $x<0$. Все четыре кандидата одновременно допустимы только при $0<a<6$. Тогда первые два положительны, последние два отрицательны; совпадение разных знаков невозможно. Проверим совпадения внутри каждой пары: $$a=3-\frac a2\ \Longleftrightarrow\ 2a=6-a\ \Longleftrightarrow\ 3a=6\ \Longleftrightarrow\ a=2,$$ $$-\frac a2=a-6\ \Longleftrightarrow\ -a=2a-12\ \Longleftrightarrow\ 3a=12\ \Longleftrightarrow\ a=4.$$ Таким образом, четыре разных корня получаются при $0<a<6$, кроме $a=2,4$. Во всех остальных случаях корней меньше четырёх. Для полноты проверим границы: при $a=0$ кандидаты $0,3,-6$; при $a=6$ кандидаты $6,0,-3$. В обоих случаях корней три. При $a<0$ остаются только $3-a/2>0$ и $a-6<0$; при $a>6$ — только $a>0$ и $-a/2<0$. Ответ: $(-\infty;0]\cup\{2;4\}\cup[6;+\infty)$.

Нужно найти параметры, при которых получается ровно два различных числа $x$. Для этого сначала разложим многочлен на множители, затем выпишем возможные корни каждого множителя. После этого отдельно учтём, когда корни существуют и когда совпадают. Переносим всё в левую часть и приводим подобные слагаемые. Исходное уравнение равносильно: $$a^{2} x + a^{2} + a x^{3} + 2 a x^{2} + a x + x^{4} + 2 x^{3} - 2 x - 1=0.$$ Сначала проверим постоянного кандидата $x=-1$. Подстановка в многочлен даёт нуль при любом $a$. По теореме Безу можно вынести множитель $x + 1$. Чтобы показать само деление, последовательно вычитаем произведения делителя на очередной член частного. $$(a^{2} x + a^{2} + a x^{3} + 2 a x^{2} + a x + x^{4} + 2 x^{3} - 2 x - 1)-(x^{3})(x + 1)=a^{2} x + a^{2} + a x^{3} + 2 a x^{2} + a x + x^{3} - 2 x - 1.$$ $$(a^{2} x + a^{2} + a x^{3} + 2 a x^{2} + a x + x^{3} - 2 x - 1)-(x^{2} \left(a + 1\right))(x + 1)=a^{2} x + a^{2} + a x^{2} + a x - x^{2} - 2 x - 1.$$ $$(a^{2} x + a^{2} + a x^{2} + a x - x^{2} - 2 x - 1)-(x \left(a - 1\right))(x + 1)=a^{2} x + a^{2} - x - 1.$$ $$(a^{2} x + a^{2} - x - 1)-(a^{2} - 1)(x + 1)=0.$$ Остаток равен нулю. Полученное частное: $$a^{2} x + a^{2} + a x^{3} + 2 a x^{2} + a x + x^{4} + 2 x^{3} - 2 x - 1=(x + 1)(a^{2} + a x^{2} + a x + x^{3} + x^{2} - x - 1).$$ В оставшемся выражении сгруппируем слагаемые так, чтобы в обеих группах получилась одна и та же скобка. Раскрытие двух произведений ниже даёт именно предыдущее частное: $$a^{2} + a x^{2} + a x + x^{3} + x^{2} - x - 1=(x)(a + x^{2} - 1)+(a + 1)(a + x^{2} - 1),$$ Выносим общую скобку: $$a^{2} + a x^{2} + a x + x^{3} + x^{2} - x - 1=(1)(a + x + 1)(a + x^{2} - 1).$$ Уравнение полностью разложено: $$\left(x + 1\right) \left(a + x + 1\right) \left(a + x^{2} - 1\right)=0.$$ Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю. Кратность корня нам не нужна: одно и то же число при совпадении считаем один раз. Множитель 1: $$x + 1=0,$$ Переносим свободное слагаемое, затем делим на коэффициент при $x$: $$1x=-1,$$ $$x=-1.$$ Множитель 2: $$a + x + 1=0,$$ Переносим свободное слагаемое, затем делим на коэффициент при $x$: $$1x=- a - 1,$$ $$x=- a - 1.$$ Множитель 3 — квадратное уравнение: $$a + x^{2} - 1=0.$$ Коэффициенты и дискриминант: $$A=1,\quad B=0,\quad C=a - 1,$$ $$D=(0)^2-4(1)(a - 1)=- 4 \left(a - 1\right).$$ При $D<0$ действительных корней нет; при $D=0$ один корень, при $D>0$ два. Подстановка в формулу корней даёт: $$x=\frac{-(0)\pm\sqrt{- 4 \left(a - 1\right)}}{2(1)},$$ $$x=- \sqrt{1 - a}\quad\text{или}\quad x=\sqrt{1 - a}.$$ Проверим совпадение кандидата $x=-1$ с корнем множителя $a + x + 1$. Подставляем его в этот множитель: $$a=0.$$ В области, где кандидат определён, знаменатель ненулевой. Поэтому нужно решить уравнение для числителя: $$a=a=0.$$ Его действительные решения по параметру: $a=0$. Проверим совпадение кандидата $x=-1$ с корнем множителя $a + x^{2} - 1$. Подставляем его в этот множитель: $$a=0.$$ В области, где кандидат определён, знаменатель ненулевой. Поэтому нужно решить уравнение для числителя: $$a=a=0.$$ Его действительные решения по параметру: $a=0$. Проверим совпадение кандидата $x=- a - 1$ с корнем множителя $a + x^{2} - 1$. Подставляем его в этот множитель: $$a \left(a + 3\right)=0.$$ В области, где кандидат определён, знаменатель ненулевой. Поэтому нужно решить уравнение для числителя: $$a^{2} + 3 a=a \left(a + 3\right)=0.$$ Его действительные решения по параметру: $a=-3$, $a=0$. Это все значения, при которых может измениться число различных действительных корней: дискриминант становится нулём, линейный множитель перестаёт зависеть от $x$ или два кандидата совпадают. Между соседними такими значениями ни одно из событий не происходит. Поэтому на каждом открытом промежутке число корней постоянно. Разберём все промежутки и все граничные значения отдельно. $$a\in(-\infty;-3): \quad N=1+1+2=4.$$ Здесь слагаемые — количества действительных корней множителей в порядке их перечисления. Совпадений внутри промежутка нет, поскольку все параметры совпадения уже вынесены в границы. На границе подставляем параметр в множители и объединяем полученные корни: $$a=-3:\quad \left(x - 2\right)^{2} \left(x + 1\right) \left(x + 2\right)=0,$$ $$x\in\{-2,-1,2\},\quad N=3.$$ $$a\in(-3;0): \quad N=1+1+2=4.$$ Здесь слагаемые — количества действительных корней множителей в порядке их перечисления. Совпадений внутри промежутка нет, поскольку все параметры совпадения уже вынесены в границы. На границе подставляем параметр в множители и объединяем полученные корни: $$a=0:\quad \left(x - 1\right) \left(x + 1\right)^{3}=0,$$ $$x\in\{-1,1\},\quad N=2.$$ $$a\in(0;1): \quad N=1+1+2=4.$$ Здесь слагаемые — количества действительных корней множителей в порядке их перечисления. Совпадений внутри промежутка нет, поскольку все параметры совпадения уже вынесены в границы. На границе подставляем параметр в множители и объединяем полученные корни: $$a=1:\quad x^{2} \left(x + 1\right) \left(x + 2\right)=0,$$ $$x\in\{-2,-1,0\},\quad N=3.$$ $$a\in(1;+\infty): \quad N=1+1+0=2.$$ Здесь слагаемые — количества действительных корней множителей в порядке их перечисления. Совпадений внутри промежутка нет, поскольку все параметры совпадения уже вынесены в границы. Выбираем только строки, где число различных корней равно двум, и объединяем найденные параметры. Ответ: $$a\in \left\{0\right\} \cup \left(1, \infty\right).$$

Нужно определить, когда показательное уравнение имеет один корень. Введём $t=2^x$. Такая замена полезна потому, что $4^x=(2^x)^2=t^2$. При всех действительных $x$ получаем $t>0$. И наоборот, каждому положительному $t$ соответствует ровно один $x=\log_{2}t$, поскольку показательная функция с основанием больше 1 строго возрастает. Поэтому достаточно посчитать различные положительные корни уравнения по $t$. Переносим правую часть влево и группируем: $$t^2+(a-6)t-(3|a|+2)t-(a-6)(3|a|+2)=0,$$ $$t(t+a-6)-(3|a|+2)(t+a-6)=0,$$ Выносим общую скобку: $$(t+a-6)(t-3|a|-2)=0.$$ Две ветви дают: $$t_1=6-a,\qquad t_2=3|a|+2.$$ Второй корень всегда положителен: $|a|\ge0$, значит, $3|a|+2\ge2>0$. Первый положителен только при $a<6$. При $a\ge6$ первый равен нулю или отрицателен, поэтому остаётся ровно один допустимый корень. При $a<6$ оба кандидата положительны. Тогда единственность возможна только при их совпадении: $$6-a=3|a|+2,\qquad4-a=3|a|.$$ Раскрываем модуль отдельно по знаку параметра. Если $a\ge0$, то $|a|=a$: $$4-a=3a,\quad4=4a,\quad a=1.$$ Если $a<0$, то $|a|=-a$: $$4-a=-3a,\quad4=-2a,\quad a=-2.$$ Оба значения лежат в рассмотренном диапазоне и дают совпадение положительных кандидатов. Других вариантов одного положительного корня нет. Ответ: $$a\in \{-2;1\}\cup[6;+\infty).$$

Нужно найти параметры, при которых произведение равно нулю ровно в одной точке заданного отрезка. У произведения два множителя, поэтому проверим нуль каждого. Но оба множителя должны быть определены даже тогда, когда один из них равен нулю. Квадратный корень существует при неотрицательном подкоренном выражении: $$7x-4\ge0,\quad 7x\ge4,\quad x\ge\frac{4}{7}.$$ С учётом отрезка получаем: $$\frac{4}{7}\le x\le4.$$ Аргумент логарифма должен быть строго положительным. Выделим квадрат: Добавляем и вычитаем квадрат половины коэффициента при $x$: половина $-8$ равна $-4$, её квадрат16. Поэтому $$x^2-8x+17-a^2=x^2-8x+16+1-a^2=(x-4)^2+1-a^2.$$ Необходимое ограничение: $$(x-4)^2+1-a^2>0.$$ Первая ветвь: квадратный корень равен нулю. Решаем линейное уравнение: $$7x-4=0,\qquad x_1=\frac{4}{7}.$$ Он лежит на отрезке. Чтобы логарифм в нём был определён, подставляем $x_1$ в его аргумент: $$(\frac{4}{7}-4)^2+1-a^2=\frac{576}{49}+1-a^2=\frac{625}{49}-a^2>0.$$ Переносим квадрат параметра и извлекаем корень: $$a^2<\frac{625}{49},\qquad |a|<\frac{25}{7}.$$ Вторая ветвь: логарифм равен нулю. Натуральный логарифм обращается в нуль только при аргументе 1: $$(x-4)^2+1-a^2=1,$$ Вычитаем единицу и переносим $a^2$: $$(x-4)^2=a^2.$$ На рассматриваемом отрезке $x\le4$, поэтому 4−$x$ неотрицательно. Равенство квадратов принимает вид: $$4-x=|a|,\qquad x_2=4-|a|.$$ Это единственный кандидат этой ветви на отрезке: другой знак дал бы $x>4$, кроме совпадающего случая $a=0$. Аргумент логарифма в кандидате равен 1, значит, он определён. Чтобы кандидат допускался корнем, нужно $x_2\ge\frac{4}{7}$: $$4-|a|\ge\frac{4}{7},\qquad |a|\le4-\frac{4}{7}=\frac{24}{7}.$$ Считаем различные корни по величине $|a|$. Если $|a|<\frac{24}{7}$, оба кандидата допустимы и различны, потому что $x_2>x_1$. Корней два. Если $|a|=\frac{24}{7}$, кандидаты совпадают: $$x_2=4-\frac{24}{7}=\frac{4}{7}=x_1.$$ Если $\frac{24}{7}<|a|<\frac{25}{7}$, второй кандидат выходит за допустимый промежуток, а первый всё ещё допускается логарифмом. В обоих последних случаях корень один. При $|a|\ge\frac{25}{7}$ первый кандидат запрещён логарифмом, а второй уже лежит левее допустимой границы. Корней нет. Итак: $$\frac{24}{7}\le|a|<\frac{25}{7}.$$ Для положительных параметров это промежуток от $\frac{24}{7}$ до $\frac{25}{7}$ без правого конца. Для отрицательных порядок границ меняется. Ответ: $$a\in(-\frac{25}{7};-\frac{24}{7}]\cup[\frac{24}{7};\frac{25}{7}).$$

Нужно получить ровно два различных корня дробного уравнения. Дробь равна нулю только при двух одновременных условиях: её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Поэтому сначала найдём все корни числителя, затем проверим каждый в знаменателе. Приравниваем числитель к нулю и прибавляем $a^2$ к обеим частям: $$9x^2-a^2=0,$$ $$9x^2=a^2.$$ Левая часть — квадрат произведения. Одинаковые квадраты получаются у равных или противоположных чисел: $$(3x)^2=a^2,$$ $$3x=a\quad\text{или}\quad 3x=-a.$$ Делим обе ветви на 3: $$x_1=\frac a{3},\qquad x_2=-\frac a{3}.$$ Сначала проверяем, когда два кандидата совпадают: $$\frac a{3}=-\frac a{3},\qquad a=-a,\qquad2a=0,\qquad a=0.$$ При $a=0$ есть лишь один кандидат $x=0$. Знаменатель в нём равен $16 e0$, то есть корень один, а нужны два. Поэтому $a=0$ исключаем. Теперь проверяем допустимость обоих кандидатов. Обозначим знаменатель через $D(x)$. По формуле квадрата суммы: $$D(x)=x^2+8x+16-a^2=(x+4)^2-a^2.$$ Подставляем $x=\frac a{3}$. Отрицательное число в квадрате даёт тот же квадрат, а линейный член сохраняет знак: $$D\left(\frac a{3}\right)=\frac{a^2}{9}+\frac{8a}{3}+16-a^2.$$ Приводим слагаемые к общему знаменателю 9: $$D\left(\frac a{3}\right)=\frac{a^2+24a+144-9a^2}{9}$$ $$D\left(\frac a{3}\right)=\frac{-8a^2+24a+144}{9}.$$ Кандидат запрещён, когда эта дробь равна нулю. Её знаменатель ненулевой; решаем квадратное уравнение для числителя: $$-8a^2+24a+144=0.$$ Дискриминант и его квадратный корень: $$\Delta=(24)^2-4\cdot(-8)\cdot144=576+4608=5184,$$ $$\sqrt\Delta=72.$$ Подставляем в формулу корней и вычисляем оба значения: $$a=\frac{-(24)\pm72}{2\cdot(-8)},$$ $$a_1=\frac{48}{-16}=-3,\qquad a_2=\frac{-96}{-16}=6.$$ Эти значения исключаем, потому что один из двух найденных кандидатов обнуляет знаменатель. Подставляем $x=-\frac a{3}$. Отрицательное число в квадрате даёт тот же квадрат, а линейный член сохраняет знак: $$D\left(-\frac a{3}\right)=\frac{a^2}{9}-\frac{8a}{3}+16-a^2.$$ Приводим слагаемые к общему знаменателю 9: $$D\left(-\frac a{3}\right)=\frac{a^2-24a+144-9a^2}{9}$$ $$D\left(-\frac a{3}\right)=\frac{-8a^2-24a+144}{9}.$$ Кандидат запрещён, когда эта дробь равна нулю. Её знаменатель ненулевой; решаем квадратное уравнение для числителя: $$-8a^2-24a+144=0.$$ Дискриминант и его квадратный корень: $$\Delta=(-24)^2-4\cdot(-8)\cdot144=576+4608=5184,$$ $$\sqrt\Delta=72.$$ Подставляем в формулу корней и вычисляем оба значения: $$a=\frac{-(-24)\pm72}{2\cdot(-8)},$$ $$a_1=\frac{96}{-16}=3,\qquad a_2=\frac{-48}{-16}=-6.$$ Эти значения исключаем, потому что один из двух найденных кандидатов обнуляет знаменатель. Объединяем все запреты. Если параметр не входит в этот список, кандидаты различны и знаменатель в обоих ненулевой. Поэтому оба являются корнями исходного уравнения. Других корней нет, поскольку числитель квадратный и уже решён полностью. Ответ: $$a\in\mathbb R\setminus\{-6,-3,0,3,6\}.$$

Требуются три разных корня. Квадратный корень неотрицателен, поэтому при возведении в квадрат обязательно сохраним условие неотрицательности правой части. Обозначим её через $R$: $$R=x^2+4x-8a.$$ Исходное равенство равносильно равенству квадратов вместе с $R\ge0$. Раскроем квадрат суммы, умножая каждое слагаемое на каждое: $$R^2=x^4+16x^2+64a^2+8x^3-16ax^2-64ax.$$ Вычтем подкоренное выражение из этого квадрата. Члены $x^4$ и $a^2$ сократятся: $$R^2-(x^4-16x^2+64a^2)=8x^3+(32-16a)x^2-64ax.$$ Вынесем общий множитель, затем сгруппируем оставшиеся слагаемые: $$=2x(4x^2+(16-8a)x-32a)$$ $$=2x(4x(x+4)-8a(x+4))$$ $$=2x(x+4)(4x-8a).$$ Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю. Все кандидаты: $$x=0;\qquad x=-4;\qquad 4x=8a\ \Longrightarrow\ x=2a.$$ Теперь вернёмся к сохранённому условию $R\ge0$. Для первого кандидата: $$R(0)=0+0-8a=-8a\ge0\ \Longleftrightarrow\ a\le0.$$ Для второго: $$R(-4)=16-16-8a=-8a\ge0\ \Longleftrightarrow\ a\le0.$$ Для третьего подставляем найденное выражение в каждый член: $$R(2a)=4a^2+4\cdot2a-8a$$ $$R(2a)=4a^2+8a-8a=4a^2\ge0.$$ Третий кандидат допустим при любом $a$. Подкоренное выражение для каждого оставленного кандидата равно $R^2\ge0$, поэтому корень существует и равен именно $R$, а не его противоположному числу. Это проверка исходного уравнения. При $a>0$ первые два кандидата запрещены, остаётся только один. При $a=0$ третий совпадает с нулём, поэтому корней два. Для трёх разных корней требуется $a<0$ и отсутствие совпадения третьего со вторым: $$2a=-4\ \Longrightarrow\ a=-2.$$ Совпадение третьего с нулём возможно только при уже исключённом $a=0$. Значит, исключаем из отрицательных параметров ровно одно число. Ответ: $(-\infty;-2)\cup(-2;0)$.