Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $\sqrt{{x}^{4}-16{x}^{2}+64{a}^{2}}={x}^{2}+4x-8a$ имеет ровно 3 решения.
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: $a\in(-\infty;-2)\cup(-2;0)$.
Решение
Требуются три разных корня. Квадратный корень неотрицателен, поэтому при возведении в квадрат обязательно сохраним условие неотрицательности правой части. Обозначим её через $R$:
$$R=x^2+4x-8a.$$
Исходное равенство равносильно равенству квадратов вместе с $R\ge0$. Раскроем квадрат суммы, умножая каждое слагаемое на каждое:
$$R^2=x^4+16x^2+64a^2+8x^3-16ax^2-64ax.$$
Вычтем подкоренное выражение из этого квадрата. Члены $x^4$ и $a^2$ сократятся:
$$R^2-(x^4-16x^2+64a^2)=8x^3+(32-16a)x^2-64ax.$$
Вынесем общий множитель, затем сгруппируем оставшиеся слагаемые:
$$=2x(4x^2+(16-8a)x-32a)$$
$$=2x(4x(x+4)-8a(x+4))$$
$$=2x(x+4)(4x-8a).$$
Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю. Все кандидаты:
$$x=0;\qquad x=-4;\qquad 4x=8a\ \Longrightarrow\ x=2a.$$
Теперь вернёмся к сохранённому условию $R\ge0$. Для первого кандидата:
$$R(0)=0+0-8a=-8a\ge0\ \Longleftrightarrow\ a\le0.$$
Для второго:
$$R(-4)=16-16-8a=-8a\ge0\ \Longleftrightarrow\ a\le0.$$
Для третьего подставляем найденное выражение в каждый член:
$$R(2a)=4a^2+4\cdot2a-8a$$
$$R(2a)=4a^2+8a-8a=4a^2\ge0.$$
Третий кандидат допустим при любом $a$. Подкоренное выражение для каждого оставленного кандидата равно $R^2\ge0$, поэтому корень существует и равен именно $R$, а не его противоположному числу. Это проверка исходного уравнения.
При $a>0$ первые два кандидата запрещены, остаётся только один. При $a=0$ третий совпадает с нулём, поэтому корней два. Для трёх разных корней требуется $a<0$ и отсутствие совпадения третьего со вторым:
$$2a=-4\ \Longrightarrow\ a=-2.$$
Совпадение третьего с нулём возможно только при уже исключённом $a=0$. Значит, исключаем из отрицательных параметров ровно одно число. Ответ: $(-\infty;-2)\cup(-2;0)$.