ФИПИ 8D6C09 — Уравнения с параметром

Нужно получить ровно один корень на отрезке $[0;1]$. Сначала найдём все возможные корни, а затем для каждого параметра проверим, какие из них определены и лежат на отрезке. Логарифм существует только при положительном аргументе: $$x+1a>0.$$ Переносим квадрат правой части влево. Применяем разность квадратов $A^2-B^2=(A-B)(A+B)$. Здесь $A=1x+\ln(x+1a)$, $B=1x-\ln(x+1a)$. Вычисляем разность и сумму: $$A-B=2\ln(x+1a),\qquad A+B=2x.$$ Подставляем в разложение и делим на ненулевую константу: $$4x\ln(x+1a)=0,$$ $$x\ln(x+1a)=0.$$ Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю. Первая ветвь — $x=0$. Этот корень лежит на заданном отрезке, но его ещё должен допускать логарифм: $$0+1a>0,\qquad a>0.$$ Вторая ветвь — нулевой логарифм. Логарифм числа 1 равен нулю, и других таких положительных аргументов нет: $$\ln(x+1a)=0,\qquad x+1a=1,\qquad x=1-1a.$$ В этой точке аргумент уже равен 1, поэтому область определения соблюдена. Осталось попасть в отрезок: $$0\le1-1a\le1.$$ Решаем два неравенства по отдельности: $$1-1a\ge0,\qquad 1a\le1,\qquad a\le1,$$ $$1-1a\le1,\qquad -1a\le0,\qquad a\ge0.$$ Значит, второй кандидат существует при: $$0\le a\le1.$$ Теперь считаем именно различные корни. При $a<0$ ни один кандидат не допускается. При $a=0$ нулевой кандидат запрещён логарифмом, зато второй равен 1: корень один. При $0<a<1$ ноль допустим, и второй кандидат лежит строго между 0 и 1: корней два. В правой граничной точке кандидаты совпадают: $$a=1:\quad x_2=1-1\cdot1=0=x_1.$$ Это один различный корень. При $a>1$ второй кандидат отрицателен и выходит за отрезок, а $x=0$ остаётся допустимым. Поэтому подходят отдельное значение 0 и весь промежуток, начиная с правой границы. Ответ: $$a\in\{0\}\cup[1;+\infty).$$