Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение
$\sqrt{2-3x}\cdot \ln (16{x}^{2}-{a}^{2})=\sqrt{2-3x}\cdot \ln (4x+a)$
имеет ровно один корень.
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: $a\in(-\frac83;-\frac12]\cup[\frac53;\frac83)$.
Решение
Нужно получить ровно один допустимый корень. Перенесём правую часть влево, вынесем общий квадратный корень и рассмотрим обе ветви нулевого произведения.
Из корня и двух логарифмов следуют ограничения:
$$x\le\frac23,\qquad16x^2-a^2>0,\qquad4x+a>0.$$
Раскладываем разность квадратов:
$$16x^2-a^2=(4x-a)(4x+a).$$
Второй множитель уже положителен. Чтобы произведение тоже было положительным, первый должен быть положительным:
$$4x-a>0,\qquad4x+a>0.$$
Делим оба ограничения на 4. Вместе это означает:
$$x>\frac a4,\quad x>-\frac a4,\quad x>\frac{|a|}4.$$
Общая область:
$$\frac{|a|}4<x\le\frac23.$$
Она непуста при $|a|<8/3$. После вынесения корня получаем:
$$\sqrt{2-3x}\bigl(\ln(16x^2-a^2)-\ln(4x+a)\bigr)=0.$$
Нулевой корень даёт постоянного кандидата:
$$2-3x=0,\quad3x=2,\quad x_1=\frac23.$$
Он допустим при $|a|<8/3$.
Равенство логарифмов при положительных аргументах даёт:
$$(4x-a)(4x+a)=4x+a.$$
Делим на положительный множитель $4x+a$ — он не равен нулю на ОДЗ:
$$4x-a=1,\quad4x=a+1,\quad x_2=\frac{a+1}{4}.$$
Проверяем область определения для этого кандидата:
$$\frac{|a|}4<\frac{a+1}{4}\le\frac23.$$
Первое неравенство после умножения на 4: $|a|<a+1$. При $a\ge0$ оно выполняется всегда, а при $a<0$ получаем $-a<a+1$, то есть $a>-1/2$. Второе неравенство:
$$3(a+1)\le8,\quad3a\le5,\quad a\le\frac53.$$
Значит, второй кандидат допустим при $-1/2<a\le5/3$. Проверяем совпадение:
$$\frac{a+1}{4}=\frac23,\quad3a+3=8,\quad a=\frac53.$$
На $(-1/2;5/3)$ два кандидата допустимы и различны. При $a=5/3$ они совпадают. В остальных точках диапазона $(-8/3;8/3)$ остаётся только первый кандидат. Вне этого диапазона ОДЗ пуста.
Ответ:
$$a\in(-\frac83;-\frac12]\cup[\frac53;\frac83).$$