ФИПИ E1F91F — Уравнения с параметром

Требуются три разных корня. Квадратный корень неотрицателен, поэтому при возведении в квадрат обязательно сохраним условие неотрицательности правой части. Обозначим её через $R$: $$R=x^2+2x-3a.$$ Исходное равенство равносильно равенству квадратов вместе с $R\ge0$. Раскроем квадрат суммы, умножая каждое слагаемое на каждое: $$R^2=x^4+4x^2+9a^2+4x^3-6ax^2-12ax.$$ Вычтем подкоренное выражение из этого квадрата. Члены $x^4$ и $a^2$ сократятся: $$R^2-(x^4-4x^2+9a^2)=4x^3+(8-6a)x^2-12ax.$$ Вынесем общий множитель, затем сгруппируем оставшиеся слагаемые: $$=2x(2x^2+(4-3a)x-6a)$$ $$=2x(2x(x+2)-3a(x+2))$$ $$=2x(x+2)(2x-3a).$$ Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю. Все кандидаты: $$x=0;\qquad x=-2;\qquad 2x=3a\ \Longrightarrow\ x=1{,}5a.$$ Теперь вернёмся к сохранённому условию $R\ge0$. Для первого кандидата: $$R(0)=0+0-3a=-3a\ge0\ \Longleftrightarrow\ a\le0.$$ Для второго: $$R(-2)=4-4-3a=-3a\ge0\ \Longleftrightarrow\ a\le0.$$ Для третьего подставляем найденное выражение в каждый член: $$R(1{,}5a)=2{,}25a^2+2\cdot1{,}5a-3a$$ $$R(1{,}5a)=2{,}25a^2+3a-3a=2{,}25a^2\ge0.$$ Третий кандидат допустим при любом $a$. Подкоренное выражение для каждого оставленного кандидата равно $R^2\ge0$, поэтому корень существует и равен именно $R$, а не его противоположному числу. Это проверка исходного уравнения. При $a>0$ первые два кандидата запрещены, остаётся только один. При $a=0$ третий совпадает с нулём, поэтому корней два. Для трёх разных корней требуется $a<0$ и отсутствие совпадения третьего со вторым: $$1{,}5a=-2\ \Longrightarrow\ a=-\frac{4}{3}.$$ Совпадение третьего с нулём возможно только при уже исключённом $a=0$. Значит, исключаем из отрицательных параметров ровно одно число. Ответ: $(-\infty;-\frac{4}{3})\cup(-\frac{4}{3};0)$.