Найдите все значения $a,$ при каждом из которых уравнение
${(4x-3|x+{a}^{2}|+|x-1|+3{a}^{2})}^{2}-(a+1)(4x-3|x+{a}^{2}|+|x-1|+3{a}^{2})+4=0$
имеет ровно два различных корня.
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: $a\in(-\infty;-5)\cup(3;4)\cup(4;+\infty)$.
Решение
Требуются два разных корня. Обозначим всё повторяющееся выражение через $t$:
$$t=4x-3|x+a^2|+|x-1|+3a^2.$$
Модули меняют знак при $x=-a^2$ и $x=1$. Так как $a^2\ge0$, всегда $-a^2<1$. Раскроем формулы на трёх участках.
Слева от $-a^2$ оба подмодульных выражения отрицательны:
$$t=4x-3(-x-a^2)+(1-x)+3a^2=6x+6a^2+1.$$
Между $-a^2$ и 1:
$$t=4x-3(x+a^2)+(1-x)+3a^2=1.$$
Правее 1 оба выражения положительны:
$$t=4x-3(x+a^2)+(x-1)+3a^2=2x-1.$$
Левая линейная ветвь принимает каждое $t<1$ по одному разу, правая — каждое $t>1$ по одному разу. Уровню $t=1$ соответствует целый отрезок $[-a^2;1]$, поэтому корней бесконечно много.
После замены исходное уравнение:
$$t^2-(a+1)t+4=0.$$
Ровно два $x$ получатся тогда и только тогда, когда есть два разных действительных уровня и ни один из них не равен 1. Дискриминант:
$$D=(a+1)^2-4\cdot1\cdot4=(a+1)^2-16.$$
Положительный дискриминант равносилен:
$$(a+1)^2>16\ \Longleftrightarrow\ |a+1|>4$$
$$a+1<-4\ \text{или}\ a+1>4\ \Longleftrightarrow\ a<-5\ \text{или}\ a>3.$$
При равенстве $D=0$ один уровень даёт только один $x$, а не два. При $D<0$ уровней нет.
Уровень 1 проверяем подстановкой:
$$1^2-(a+1)\cdot1+4=1-a-1+4=4-a.$$
Он является корнем ровно при $a=4$; тогда решений бесконечно много. Исключаем это число. Других причин слияния $x$ нет: разным уровням не может отвечать один $x$. Ответ: $(-\infty;-5)\cup(3;4)\cup(4;+\infty)$.