ФИПИ 073F98 — Уравнения с параметром

Нужно четыре различных корня. Модуль раскрывается по знаку $x$, и на каждой стороне получается квадратное уравнение, у которого не больше двух корней. Поэтому нам нужны два положительных и два отрицательных корня. При $x>0$ подставим $|x|=x$, сложим $3x+9x=12x$ и умножим уравнение на $-1$: $$a^2-ax-2x^2-6a+12x=0,$$ $$2x^2+(a-12)x+6a-a^2=0.$$ При $x<0$ имеем $|x|=-x$, поэтому $3x-9x=-6x$: $$a^2-ax-2x^2-6a-6x=0,$$ $$2x^2+(a+6)x+6a-a^2=0.$$ Нулевой корень проверим отдельно: $$x=0:\quad a^2-6a=a(a-6)=0\ \Longrightarrow\ a=0\ \text{или}\ a=6.$$ Если ноль является корнем, он входит в обе квадратные формулы. У каждой тогда остаётся не более одного ненулевого корня, то есть всего не больше трёх. Значит, для четырёх корней ноль не подходит. Для квадратного уравнения $Ax^2+Bx+C=0$ при двух действительных корнях сумма равна $-B/A$, произведение $C/A$ (теорема Виета). Два положительных или два отрицательных числа имеют положительное произведение. Здесь в обеих ветвях: $$\frac{6a-a^2}{2}=\frac{a(6-a)}2>0.$$ Множители $a$ и $6-a$ одновременно положительны при $0<a<6$. Одновременно отрицательными они быть не могут. Вне этого интервала нужных двух корней одного знака нет. Проверим существование и различие корней с помощью дискриминантов: $$D_+=(a-12)^2-4\cdot2(6a-a^2)$$ $$D_+=a^2-24a+144-48a+8a^2=9a^2-72a+144$$ $$D_+=9(a^2-8a+16)=9(a-4)^2.$$ Он положителен при $a e4$. Для второй ветви: $$D_-=(a+6)^2-8(6a-a^2)$$ $$D_-=a^2+12a+36-48a+8a^2=9a^2-36a+36=9(a-2)^2.$$ Значит, необходимо также $a e2$. Убедимся в знаках действительных корней на $0<a<6$: $$x_1+x_2=\frac{12-a}2>0,\qquad z_1+z_2=-\frac{a+6}2<0.$$ Положительное произведение означает одинаковые знаки внутри каждой пары. Положительная сумма делает первую пару положительной, отрицательная сумму — вторую отрицательной. Все четыре корня допустимы, и положительный корень не может совпасть с отрицательным. При $a=2$ или $a=4$ одна пара сливается в один корень; при $a=0,6$ появляется общий ноль. Эти границы действительно исключены. Ответ: $(0;2)\cup(2;4)\cup(4;6)$.