ФИПИ 36F316 — Уравнения с параметром

Нужно получить одно различное решение на заданном отрезке. Из-за тангенса сначала исключаем точки, где он не определён: $\tan x=\sin x/\cos x$, поэтому требуется $\cos x\ne0$. Обозначим $u=2x+a$. Разность квадратов раскладывается как $(A-B)(A+B)$. На отрезке $[0;\pi]$ тангенс запрещён только при $x=\pi/2$. Берём $A=u+1-\tan x$, $B=u-1+\tan x$. Тогда: $$A-B=2(1-\tan x),\qquad A+B=2u.$$ После разложения и деления на 4: $$(2x+a)(1-\tan x)=0.$$ Постоянный кандидат: $$\tan x=1,\qquad x=\frac\pi4+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$ На отрезке $[0;\pi]$ подходит только $n=0$, то есть $x=\pi/4$. Переменный кандидат: $$2x+a=0,\quad2x=-a,\quad x=-\frac a2.$$ Чтобы он не добавил второй корень, он должен оказаться вне отрезка, в запрещённой точке или совпасть с постоянным корнем. Первая возможность: $$-\frac a2<0\quad\text{или}\quad-\frac a2>\pi.$$ Умножая на отрицательное число −2, меняем направления знаков: $$a>0\quad\text{или}\quad a<-2\pi.$$ Вторая возможность — попасть в запрещённую точку: $$-\frac a2=\frac\pi2,\qquad a=-\pi.$$ Третья — совпасть с постоянным корнем: $$-\frac a2=\frac\pi4,\qquad a=-\frac\pi2.$$ При $a=0$ переменный кандидат равен 0, а при $a=-2\pi$ равен $\pi$. Оба края определены и отличаются от $\pi/4$, поэтому эти границы не подходят. Во всех других случаях переменный кандидат определён, принадлежит отрезку и добавляет второй корень. Ответ: $$a\in(-\infty;-2\pi)\cup\{-\pi;-\frac\pi2\}\cup(0;+\infty).$$