ФИПИ 3DD135 — Уравнения с параметром

Нужно получить ровно один корень на отрезке $[0;1]$. Сначала найдём все возможные корни, а затем для каждого параметра проверим, какие из них определены и лежат на отрезке. Логарифм существует только при положительном аргументе: $$x+2a>0.$$ Переносим квадрат правой части влево. Применяем разность квадратов $A^2-B^2=(A-B)(A+B)$. Здесь $A=2x+\ln(x+2a)$, $B=2x-\ln(x+2a)$. Вычисляем разность и сумму: $$A-B=2\ln(x+2a),\qquad A+B=4x.$$ Подставляем в разложение и делим на ненулевую константу: $$8x\ln(x+2a)=0,$$ $$x\ln(x+2a)=0.$$ Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю. Первая ветвь — $x=0$. Этот корень лежит на заданном отрезке, но его ещё должен допускать логарифм: $$0+2a>0,\qquad a>0.$$ Вторая ветвь — нулевой логарифм. Логарифм числа 1 равен нулю, и других таких положительных аргументов нет: $$\ln(x+2a)=0,\qquad x+2a=1,\qquad x=1-2a.$$ В этой точке аргумент уже равен 1, поэтому область определения соблюдена. Осталось попасть в отрезок: $$0\le1-2a\le1.$$ Решаем два неравенства по отдельности: $$1-2a\ge0,\qquad 2a\le1,\qquad a\le0{,}5,$$ $$1-2a\le1,\qquad -2a\le0,\qquad a\ge0.$$ Значит, второй кандидат существует при: $$0\le a\le0{,}5.$$ Теперь считаем именно различные корни. При $a<0$ ни один кандидат не допускается. При $a=0$ нулевой кандидат запрещён логарифмом, зато второй равен 1: корень один. При $0<a<0{,}5$ ноль допустим, и второй кандидат лежит строго между 0 и 1: корней два. В правой граничной точке кандидаты совпадают: $$a=0{,}5:\quad x_2=1-2\cdot0{,}5=0=x_1.$$ Это один различный корень. При $a>0{,}5$ второй кандидат отрицателен и выходит за отрезок, а $x=0$ остаётся допустимым. Поэтому подходят отдельное значение 0 и весь промежуток, начиная с правой границы. Ответ: $$a\in\{0\}\cup[0{,}5;+\infty).$$