ФИПИ 5F6c59 — Уравнения с параметром

Нужно найти параметры, при которых получается ровно два различных числа $x$. Для этого сначала разложим многочлен на множители, затем выпишем возможные корни каждого множителя. После этого отдельно учтём, когда корни существуют и когда совпадают. Переносим всё в левую часть и приводим подобные слагаемые. Исходное уравнение равносильно: $$a^{2} x + a^{2} + a x^{3} + 2 a x^{2} + a x + x^{4} + 2 x^{3} - 2 x - 1=0.$$ Сначала проверим постоянного кандидата $x=-1$. Подстановка в многочлен даёт нуль при любом $a$. По теореме Безу можно вынести множитель $x + 1$. Чтобы показать само деление, последовательно вычитаем произведения делителя на очередной член частного. $$(a^{2} x + a^{2} + a x^{3} + 2 a x^{2} + a x + x^{4} + 2 x^{3} - 2 x - 1)-(x^{3})(x + 1)=a^{2} x + a^{2} + a x^{3} + 2 a x^{2} + a x + x^{3} - 2 x - 1.$$ $$(a^{2} x + a^{2} + a x^{3} + 2 a x^{2} + a x + x^{3} - 2 x - 1)-(x^{2} \left(a + 1\right))(x + 1)=a^{2} x + a^{2} + a x^{2} + a x - x^{2} - 2 x - 1.$$ $$(a^{2} x + a^{2} + a x^{2} + a x - x^{2} - 2 x - 1)-(x \left(a - 1\right))(x + 1)=a^{2} x + a^{2} - x - 1.$$ $$(a^{2} x + a^{2} - x - 1)-(a^{2} - 1)(x + 1)=0.$$ Остаток равен нулю. Полученное частное: $$a^{2} x + a^{2} + a x^{3} + 2 a x^{2} + a x + x^{4} + 2 x^{3} - 2 x - 1=(x + 1)(a^{2} + a x^{2} + a x + x^{3} + x^{2} - x - 1).$$ В оставшемся выражении сгруппируем слагаемые так, чтобы в обеих группах получилась одна и та же скобка. Раскрытие двух произведений ниже даёт именно предыдущее частное: $$a^{2} + a x^{2} + a x + x^{3} + x^{2} - x - 1=(x)(a + x^{2} - 1)+(a + 1)(a + x^{2} - 1),$$ Выносим общую скобку: $$a^{2} + a x^{2} + a x + x^{3} + x^{2} - x - 1=(1)(a + x + 1)(a + x^{2} - 1).$$ Уравнение полностью разложено: $$\left(x + 1\right) \left(a + x + 1\right) \left(a + x^{2} - 1\right)=0.$$ Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю. Кратность корня нам не нужна: одно и то же число при совпадении считаем один раз. Множитель 1: $$x + 1=0,$$ Переносим свободное слагаемое, затем делим на коэффициент при $x$: $$1x=-1,$$ $$x=-1.$$ Множитель 2: $$a + x + 1=0,$$ Переносим свободное слагаемое, затем делим на коэффициент при $x$: $$1x=- a - 1,$$ $$x=- a - 1.$$ Множитель 3 — квадратное уравнение: $$a + x^{2} - 1=0.$$ Коэффициенты и дискриминант: $$A=1,\quad B=0,\quad C=a - 1,$$ $$D=(0)^2-4(1)(a - 1)=- 4 \left(a - 1\right).$$ При $D<0$ действительных корней нет; при $D=0$ один корень, при $D>0$ два. Подстановка в формулу корней даёт: $$x=\frac{-(0)\pm\sqrt{- 4 \left(a - 1\right)}}{2(1)},$$ $$x=- \sqrt{1 - a}\quad\text{или}\quad x=\sqrt{1 - a}.$$ Проверим совпадение кандидата $x=-1$ с корнем множителя $a + x + 1$. Подставляем его в этот множитель: $$a=0.$$ В области, где кандидат определён, знаменатель ненулевой. Поэтому нужно решить уравнение для числителя: $$a=a=0.$$ Его действительные решения по параметру: $a=0$. Проверим совпадение кандидата $x=-1$ с корнем множителя $a + x^{2} - 1$. Подставляем его в этот множитель: $$a=0.$$ В области, где кандидат определён, знаменатель ненулевой. Поэтому нужно решить уравнение для числителя: $$a=a=0.$$ Его действительные решения по параметру: $a=0$. Проверим совпадение кандидата $x=- a - 1$ с корнем множителя $a + x^{2} - 1$. Подставляем его в этот множитель: $$a \left(a + 3\right)=0.$$ В области, где кандидат определён, знаменатель ненулевой. Поэтому нужно решить уравнение для числителя: $$a^{2} + 3 a=a \left(a + 3\right)=0.$$ Его действительные решения по параметру: $a=-3$, $a=0$. Это все значения, при которых может измениться число различных действительных корней: дискриминант становится нулём, линейный множитель перестаёт зависеть от $x$ или два кандидата совпадают. Между соседними такими значениями ни одно из событий не происходит. Поэтому на каждом открытом промежутке число корней постоянно. Разберём все промежутки и все граничные значения отдельно. $$a\in(-\infty;-3): \quad N=1+1+2=4.$$ Здесь слагаемые — количества действительных корней множителей в порядке их перечисления. Совпадений внутри промежутка нет, поскольку все параметры совпадения уже вынесены в границы. На границе подставляем параметр в множители и объединяем полученные корни: $$a=-3:\quad \left(x - 2\right)^{2} \left(x + 1\right) \left(x + 2\right)=0,$$ $$x\in\{-2,-1,2\},\quad N=3.$$ $$a\in(-3;0): \quad N=1+1+2=4.$$ Здесь слагаемые — количества действительных корней множителей в порядке их перечисления. Совпадений внутри промежутка нет, поскольку все параметры совпадения уже вынесены в границы. На границе подставляем параметр в множители и объединяем полученные корни: $$a=0:\quad \left(x - 1\right) \left(x + 1\right)^{3}=0,$$ $$x\in\{-1,1\},\quad N=2.$$ $$a\in(0;1): \quad N=1+1+2=4.$$ Здесь слагаемые — количества действительных корней множителей в порядке их перечисления. Совпадений внутри промежутка нет, поскольку все параметры совпадения уже вынесены в границы. На границе подставляем параметр в множители и объединяем полученные корни: $$a=1:\quad x^{2} \left(x + 1\right) \left(x + 2\right)=0,$$ $$x\in\{-2,-1,0\},\quad N=3.$$ $$a\in(1;+\infty): \quad N=1+1+0=2.$$ Здесь слагаемые — количества действительных корней множителей в порядке их перечисления. Совпадений внутри промежутка нет, поскольку все параметры совпадения уже вынесены в границы. Выбираем только строки, где число различных корней равно двум, и объединяем найденные параметры. Ответ: $$a\in \left\{0\right\} \cup \left(1, \infty\right).$$