Найдите все значения $a,$ при каждом из которых уравнение
$\sqrt{7x-4}\cdot \ln ({x}^{2}-8x+17-{a}^{2})=0$
имеет на отрезке $[0; 4]$ ровно один корень.
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: $a\in(-\frac{25}7;-\frac{24}7]\cup[\frac{24}7;\frac{25}7)$.
Решение
Нужно найти параметры, при которых произведение равно нулю ровно в одной точке заданного отрезка. У произведения два множителя, поэтому проверим нуль каждого. Но оба множителя должны быть определены даже тогда, когда один из них равен нулю.
Квадратный корень существует при неотрицательном подкоренном выражении:
$$7x-4\ge0,\quad 7x\ge4,\quad x\ge\frac{4}{7}.$$
С учётом отрезка получаем:
$$\frac{4}{7}\le x\le4.$$
Аргумент логарифма должен быть строго положительным. Выделим квадрат:
Добавляем и вычитаем квадрат половины коэффициента при $x$: половина $-8$ равна $-4$, её квадрат16. Поэтому
$$x^2-8x+17-a^2=x^2-8x+16+1-a^2=(x-4)^2+1-a^2.$$
Необходимое ограничение:
$$(x-4)^2+1-a^2>0.$$
Первая ветвь: квадратный корень равен нулю. Решаем линейное уравнение:
$$7x-4=0,\qquad x_1=\frac{4}{7}.$$
Он лежит на отрезке. Чтобы логарифм в нём был определён, подставляем $x_1$ в его аргумент:
$$(\frac{4}{7}-4)^2+1-a^2=\frac{576}{49}+1-a^2=\frac{625}{49}-a^2>0.$$
Переносим квадрат параметра и извлекаем корень:
$$a^2<\frac{625}{49},\qquad |a|<\frac{25}{7}.$$
Вторая ветвь: логарифм равен нулю. Натуральный логарифм обращается в нуль только при аргументе 1:
$$(x-4)^2+1-a^2=1,$$
Вычитаем единицу и переносим $a^2$:
$$(x-4)^2=a^2.$$
На рассматриваемом отрезке $x\le4$, поэтому 4−$x$ неотрицательно. Равенство квадратов принимает вид:
$$4-x=|a|,\qquad x_2=4-|a|.$$
Это единственный кандидат этой ветви на отрезке: другой знак дал бы $x>4$, кроме совпадающего случая $a=0$. Аргумент логарифма в кандидате равен 1, значит, он определён.
Чтобы кандидат допускался корнем, нужно $x_2\ge\frac{4}{7}$:
$$4-|a|\ge\frac{4}{7},\qquad |a|\le4-\frac{4}{7}=\frac{24}{7}.$$
Считаем различные корни по величине $|a|$. Если $|a|<\frac{24}{7}$, оба кандидата допустимы и различны, потому что $x_2>x_1$. Корней два.
Если $|a|=\frac{24}{7}$, кандидаты совпадают:
$$x_2=4-\frac{24}{7}=\frac{4}{7}=x_1.$$
Если $\frac{24}{7}<|a|<\frac{25}{7}$, второй кандидат выходит за допустимый промежуток, а первый всё ещё допускается логарифмом. В обоих последних случаях корень один.
При $|a|\ge\frac{25}{7}$ первый кандидат запрещён логарифмом, а второй уже лежит левее допустимой границы. Корней нет. Итак:
$$\frac{24}{7}\le|a|<\frac{25}{7}.$$
Для положительных параметров это промежуток от $\frac{24}{7}$ до $\frac{25}{7}$ без правого конца. Для отрицательных порядок границ меняется. Ответ:
$$a\in(-\frac{25}{7};-\frac{24}{7}]\cup[\frac{24}{7};\frac{25}{7}).$$