Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
$\frac{9{x}^{2}-{a}^{2}}{{x}^{2}+8x+16-{a}^{2}}=0$
имеет ровно два различных корня.
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: $a\in\mathbb R\setminus\{-6;-3;0;3;6\}$.
Решение
Нужно получить ровно два различных корня дробного уравнения. Дробь равна нулю только при двух одновременных условиях: её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Поэтому сначала найдём все корни числителя, затем проверим каждый в знаменателе.
Приравниваем числитель к нулю и прибавляем $a^2$ к обеим частям:
$$9x^2-a^2=0,$$
$$9x^2=a^2.$$
Левая часть — квадрат произведения. Одинаковые квадраты получаются у равных или противоположных чисел:
$$(3x)^2=a^2,$$
$$3x=a\quad\text{или}\quad 3x=-a.$$
Делим обе ветви на 3:
$$x_1=\frac a{3},\qquad x_2=-\frac a{3}.$$
Сначала проверяем, когда два кандидата совпадают:
$$\frac a{3}=-\frac a{3},\qquad a=-a,\qquad2a=0,\qquad a=0.$$
При $a=0$ есть лишь один кандидат $x=0$. Знаменатель в нём равен $16
e0$, то есть корень один, а нужны два. Поэтому $a=0$ исключаем.
Теперь проверяем допустимость обоих кандидатов. Обозначим знаменатель через $D(x)$. По формуле квадрата суммы:
$$D(x)=x^2+8x+16-a^2=(x+4)^2-a^2.$$
Подставляем $x=\frac a{3}$. Отрицательное число в квадрате даёт тот же квадрат, а линейный член сохраняет знак:
$$D\left(\frac a{3}\right)=\frac{a^2}{9}+\frac{8a}{3}+16-a^2.$$
Приводим слагаемые к общему знаменателю 9:
$$D\left(\frac a{3}\right)=\frac{a^2+24a+144-9a^2}{9}$$
$$D\left(\frac a{3}\right)=\frac{-8a^2+24a+144}{9}.$$
Кандидат запрещён, когда эта дробь равна нулю. Её знаменатель ненулевой; решаем квадратное уравнение для числителя:
$$-8a^2+24a+144=0.$$
Дискриминант и его квадратный корень:
$$\Delta=(24)^2-4\cdot(-8)\cdot144=576+4608=5184,$$
$$\sqrt\Delta=72.$$
Подставляем в формулу корней и вычисляем оба значения:
$$a=\frac{-(24)\pm72}{2\cdot(-8)},$$
$$a_1=\frac{48}{-16}=-3,\qquad a_2=\frac{-96}{-16}=6.$$
Эти значения исключаем, потому что один из двух найденных кандидатов обнуляет знаменатель.
Подставляем $x=-\frac a{3}$. Отрицательное число в квадрате даёт тот же квадрат, а линейный член сохраняет знак:
$$D\left(-\frac a{3}\right)=\frac{a^2}{9}-\frac{8a}{3}+16-a^2.$$
Приводим слагаемые к общему знаменателю 9:
$$D\left(-\frac a{3}\right)=\frac{a^2-24a+144-9a^2}{9}$$
$$D\left(-\frac a{3}\right)=\frac{-8a^2-24a+144}{9}.$$
Кандидат запрещён, когда эта дробь равна нулю. Её знаменатель ненулевой; решаем квадратное уравнение для числителя:
$$-8a^2-24a+144=0.$$
Дискриминант и его квадратный корень:
$$\Delta=(-24)^2-4\cdot(-8)\cdot144=576+4608=5184,$$
$$\sqrt\Delta=72.$$
Подставляем в формулу корней и вычисляем оба значения:
$$a=\frac{-(-24)\pm72}{2\cdot(-8)},$$
$$a_1=\frac{96}{-16}=3,\qquad a_2=\frac{-48}{-16}=-6.$$
Эти значения исключаем, потому что один из двух найденных кандидатов обнуляет знаменатель.
Объединяем все запреты. Если параметр не входит в этот список, кандидаты различны и знаменатель в обоих ненулевой. Поэтому оба являются корнями исходного уравнения. Других корней нет, поскольку числитель квадратный и уже решён полностью.
Ответ:
$$a\in\mathbb R\setminus\{-6,-3,0,3,6\}.$$