Найдите все значения $a,$ при каждом из которых уравнение
$\sqrt{{x}^{2}-{a}^{2}}=\sqrt{4{x}^{2}-(4a+2)x+2a}$
на отрезке $[0; 1]$ имеет ровно один корень.
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: $a\in[-\frac12;0)\cup\{1\}$.
Решение
При равенстве квадратных корней должны совпадать подкоренные выражения. Но после нахождения кандидатов нужно проверить их неотрицательность: иначе корни вообще не определены.
Приравниваем подкоренные выражения и переносим всё в одну сторону:
$$x^2-a^2=4x^2-(4a+2)x+2a,$$
$$3x^2-(4a+2)x+a^2+2a=0.$$
Разложим выражение группировкой. Разбиваем средний член на два удобных слагаемых:
$$3x^2-3ax-(a+2)x+a(a+2)=0,$$
$$3x(x-a)-(a+2)(x-a)=0,$$
$$(x-a)(3x-a-2)=0.$$
По правилу нулевого произведения:
$$x_1=a,\qquad3x_2=a+2,\qquad x_2=\frac{a+2}{3}.$$
Первый кандидат обнуляет первое подкоренное выражение: $a^2-a^2=0$. Второе равно ему по полученному уравнению. Поэтому остаётся только попасть в отрезок:
$$0\le a\le1.$$
Для второго кандидата попадание в отрезок даёт:
$$0\le\frac{a+2}{3}\le1,\quad0\le a+2\le3,\quad-2\le a\le1.$$
Проверяем первое подкоренное выражение в этом кандидате:
$$\left(\frac{a+2}{3}\right)^2-a^2=\frac{(a+2)^2-9a^2}{9}$$
$$=\frac{a^2+4a+4-9a^2}{9}=\frac{-8a^2+4a+4}{9}$$
$$=\frac{4(1-a)(2a+1)}9.$$
Знаменатель и множитель 4 положительны. На диапазоне $a\le1$ множитель $1-a$ неотрицателен; чтобы произведение не было отрицательным, нужно $2a+1\ge0$. Получаем:
$$2a+1\ge0,\quad a\ge-\frac12,\qquad-\frac12\le a\le1.$$
При $-1/2\le a<0$ первый кандидат не лежит на отрезке, а второй допустим: корень один. При $0\le a<1$ оба допустимы и различны. Проверим совпадение:
$$a=\frac{a+2}{3},\quad3a=a+2,\quad2a=2,\quad a=1.$$
При $a=1$ оба кандидата равны 1 — это один различный корень. Вне полученных диапазонов ни один кандидат не подходит. Ответ:
$$a\in[-\frac12;0)\cup\{1\}.$$