ФИПИ 9437D5 — Уравнения с параметром

Один корень означает одно допустимое число $x$, даже если оно получилось двумя способами. Сначала получим всех кандидатов, сохранив область определения обоих логарифмов. Логарифмы требуют: $$x+a>0,\qquad2x-a>0.$$ Переносим правую часть влево и выносим общий множитель: $$(5x-2)\bigl(\ln(x+a)-\ln(2x-a)\bigr)=0.$$ Первый множитель даёт: $$5x-2=0,\quad5x=2,\quad x_1=\frac25.$$ Он лежит на $[0;1]$. Подстановка в аргументы даёт два строгих условия: $$\frac25+a>0\Rightarrow a>-\frac25,$$ $$\frac45-a>0\Rightarrow a<\frac45.$$ Итак, первый кандидат допустим при $-2/5<a<4/5$. Вторая ветвь — равенство логарифмов. Натуральный логарифм строго возрастает, поэтому при положительных аргументах равенство его значений равносильно равенству аргументов: $$x+a=2x-a,\quad2a=x,\quad x_2=2a.$$ Подставляем в оба аргумента: $$x_2+a=3a,\qquad2x_2-a=4a-a=3a.$$ Нужен $a>0$. Попадание в отрезок даёт $0\le2a\le1$, то есть $0\le a\le1/2$. Вместе получаем $0<a\le1/2$. Кандидаты совпадают только при: $$2a=\frac25,\qquad a=\frac15.$$ Считаем: при $-2/5<a\le0$ есть только первый кандидат; при $0<a\le1/2$ обычно два, но при $a=1/5$ это одно число; при $1/2<a<4/5$ опять только первый. Вне этих диапазонов нет подходящих корней. Строгие границы −2/5 и 4/5 исключены логарифмами. Ответ: $$a\in(-\frac25;0]\cup\{\frac15\}\cup(\frac12;\frac45).$$