Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение
$\sqrt{2x-1}\cdot \ln (4x-a)=\sqrt{2x-1}\cdot \ln (5x+a)$
имеет ровно один корень на отрезке $[0; 1]$.
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: $a\in(-\frac52;-\frac12)\cup[-\frac14;2)$.
Решение
Перенесём всё в левую часть и вынесем общий корень. Нулевое произведение даёт два типа кандидатов; каждому нужна проверка всех ограничений.
Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
$$2x-1\ge0,\quad x\ge\frac12.$$
На заданном отрезке это $1/2\le x\le1$. Логарифмы требуют:
$$4x-a>0,\qquad5x+a>0.$$
Получаем произведение:
$$\sqrt{2x-1}\bigl(\ln(4x-a)-\ln(5x+a)\bigr)=0.$$
Первая ветвь — нулевой корень:
$$2x-1=0,\quad x_1=\frac12.$$
Проверяем логарифмы в нём:
$$2-a>0\Rightarrow a<2,\qquad\frac52+a>0\Rightarrow a>-\frac52.$$
Поэтому первый кандидат допустим при $-5/2<a<2$.
Вторая ветвь — равенство логарифмов. При положительных аргументах оно равносильно равенству аргументов:
$$4x-a=5x+a,\quad -2a=x,\quad x_2=-2a.$$
Попадание в допустимый отрезок:
$$\frac12\le-2a\le1.$$
Делим на отрицательное число −2, меняя направления знаков:
$$-\frac14\ge a\ge-\frac12,\qquad-\frac12\le a\le-\frac14.$$
В этом диапазоне $a<0$. Оба аргумента после подстановки равны $-9a>0$, так что логарифмы определены.
Проверяем, когда кандидаты совпадают:
$$-2a=\frac12,\qquad a=-\frac14.$$
Внутри $[-1/2;-1/4)$ оба кандидата различны и допустимы — два корня. При $a=-1/4$ они совпадают, остаётся один. При остальных параметрах из $(-5/2;2)$ есть только постоянный кандидат. Поэтому исключаем ровно $[-1/2;-1/4)$ из диапазона первого кандидата.
Ответ:
$$a\in(-\frac52;-\frac12)\cup[-\frac14;2).$$