ФИПИ AeA2cF — Уравнения с параметром

Нужно найти параметры, при которых получается ровно два различных числа $x$. Для этого сначала разложим многочлен на множители, затем выпишем возможные корни каждого множителя. После этого отдельно учтём, когда корни существуют и когда совпадают. Переносим всё в левую часть и приводим подобные слагаемые. Исходное уравнение равносильно: $$a^{2} x - 2 a^{2} + a x^{3} - a x^{2} - 4 a + x^{4} - 4 x^{2}=0.$$ Сначала проверим постоянного кандидата $x=2$. Подстановка в многочлен даёт нуль при любом $a$. По теореме Безу можно вынести множитель $x - 2$. Чтобы показать само деление, последовательно вычитаем произведения делителя на очередной член частного. $$(a^{2} x - 2 a^{2} + a x^{3} - a x^{2} - 4 a + x^{4} - 4 x^{2})-(x^{3})(x - 2)=a^{2} x - 2 a^{2} + a x^{3} - a x^{2} - 4 a + 2 x^{3} - 4 x^{2}.$$ $$(a^{2} x - 2 a^{2} + a x^{3} - a x^{2} - 4 a + 2 x^{3} - 4 x^{2})-(x^{2} \left(a + 2\right))(x - 2)=a^{2} x - 2 a^{2} + a x^{2} - 4 a.$$ $$(a^{2} x - 2 a^{2} + a x^{2} - 4 a)-(a x)(x - 2)=a^{2} x - 2 a^{2} + 2 a x - 4 a.$$ $$(a^{2} x - 2 a^{2} + 2 a x - 4 a)-(a^{2} + 2 a)(x - 2)=0.$$ Остаток равен нулю. Полученное частное: $$a^{2} x - 2 a^{2} + a x^{3} - a x^{2} - 4 a + x^{4} - 4 x^{2}=(x - 2)(a^{2} + a x^{2} + a x + 2 a + x^{3} + 2 x^{2}).$$ В оставшемся выражении сгруппируем слагаемые так, чтобы в обеих группах получилась одна и та же скобка. Раскрытие двух произведений ниже даёт именно предыдущее частное: $$a^{2} + a x^{2} + a x + 2 a + x^{3} + 2 x^{2}=(x)(a + x^{2})+(a + 2)(a + x^{2}),$$ Выносим общую скобку: $$a^{2} + a x^{2} + a x + 2 a + x^{3} + 2 x^{2}=(1)(a + x + 2)(a + x^{2}).$$ Уравнение полностью разложено: $$\left(a + x^{2}\right) \left(x - 2\right) \left(a + x + 2\right)=0.$$ Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю. Кратность корня нам не нужна: одно и то же число при совпадении считаем один раз. Множитель 1: $$x - 2=0,$$ Переносим свободное слагаемое, затем делим на коэффициент при $x$: $$1x=2,$$ $$x=2.$$ Множитель 2: $$a + x + 2=0,$$ Переносим свободное слагаемое, затем делим на коэффициент при $x$: $$1x=- a - 2,$$ $$x=- a - 2.$$ Множитель 3 — квадратное уравнение: $$a + x^{2}=0.$$ Коэффициенты и дискриминант: $$A=1,\quad B=0,\quad C=a,$$ $$D=(0)^2-4(1)(a)=- 4 a.$$ При $D<0$ действительных корней нет; при $D=0$ один корень, при $D>0$ два. Подстановка в формулу корней даёт: $$x=\frac{-(0)\pm\sqrt{- 4 a}}{2(1)},$$ $$x=- \sqrt{- a}\quad\text{или}\quad x=\sqrt{- a}.$$ Проверим совпадение кандидата $x=2$ с корнем множителя $a + x + 2$. Подставляем его в этот множитель: $$a + 4=0.$$ В области, где кандидат определён, знаменатель ненулевой. Поэтому нужно решить уравнение для числителя: $$a + 4=a + 4=0.$$ Его действительные решения по параметру: $a=-4$. Проверим совпадение кандидата $x=2$ с корнем множителя $a + x^{2}$. Подставляем его в этот множитель: $$a + 4=0.$$ В области, где кандидат определён, знаменатель ненулевой. Поэтому нужно решить уравнение для числителя: $$a + 4=a + 4=0.$$ Его действительные решения по параметру: $a=-4$. Проверим совпадение кандидата $x=- a - 2$ с корнем множителя $a + x^{2}$. Подставляем его в этот множитель: $$\left(a + 1\right) \left(a + 4\right)=0.$$ В области, где кандидат определён, знаменатель ненулевой. Поэтому нужно решить уравнение для числителя: $$a^{2} + 5 a + 4=\left(a + 1\right) \left(a + 4\right)=0.$$ Его действительные решения по параметру: $a=-4$, $a=-1$. Это все значения, при которых может измениться число различных действительных корней: дискриминант становится нулём, линейный множитель перестаёт зависеть от $x$ или два кандидата совпадают. Между соседними такими значениями ни одно из событий не происходит. Поэтому на каждом открытом промежутке число корней постоянно. Разберём все промежутки и все граничные значения отдельно. $$a\in(-\infty;-4): \quad N=1+1+2=4.$$ Здесь слагаемые — количества действительных корней множителей в порядке их перечисления. Совпадений внутри промежутка нет, поскольку все параметры совпадения уже вынесены в границы. На границе подставляем параметр в множители и объединяем полученные корни: $$a=-4:\quad \left(x - 2\right)^{3} \left(x + 2\right)=0,$$ $$x\in\{-2,2\},\quad N=2.$$ $$a\in(-4;-1): \quad N=1+1+2=4.$$ Здесь слагаемые — количества действительных корней множителей в порядке их перечисления. Совпадений внутри промежутка нет, поскольку все параметры совпадения уже вынесены в границы. На границе подставляем параметр в множители и объединяем полученные корни: $$a=-1:\quad \left(x - 2\right) \left(x - 1\right) \left(x + 1\right)^{2}=0,$$ $$x\in\{-1,1,2\},\quad N=3.$$ $$a\in(-1;0): \quad N=1+1+2=4.$$ Здесь слагаемые — количества действительных корней множителей в порядке их перечисления. Совпадений внутри промежутка нет, поскольку все параметры совпадения уже вынесены в границы. На границе подставляем параметр в множители и объединяем полученные корни: $$a=0:\quad x^{2} \left(x - 2\right) \left(x + 2\right)=0,$$ $$x\in\{-2,0,2\},\quad N=3.$$ $$a\in(0;+\infty): \quad N=1+1+0=2.$$ Здесь слагаемые — количества действительных корней множителей в порядке их перечисления. Совпадений внутри промежутка нет, поскольку все параметры совпадения уже вынесены в границы. Выбираем только строки, где число различных корней равно двум, и объединяем найденные параметры. Ответ: $$a\in \left\{-4\right\} \cup \left(0, \infty\right).$$