Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение
${x}^{2}+{a}^{2}+x-7a=|7x+a|$
имеет больше двух различных корней.
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: $a\in[-1;0]\cup[7;8]$.
Решение
Требуется больше двух различных корня. Сделаем замену $z=-x$. Она взаимно однозначна и сохраняет число корней. Уравнение становится:
$$z^2+a^2-z-7a=|7z-a|.$$
Раскрываем модуль по знаку $7z-a$. При $z\ge a/7$:
$$z^2+a^2-z-7a=7z-a\ \Longleftrightarrow\ Q_1(z)=z^2-8z+a^2-6a=0.$$
При $z\le a/7$:
$$z^2+a^2-z-7a=-7z+a\ \Longleftrightarrow\ Q_2(z)=z^2+6z+a^2-8a=0.$$
Выделим полные квадраты:
$$(z-4)^2=16-a^2+6a=25-(a-3)^2,$$
$$(z+3)^2=9-a^2+8a=25-(a-4)^2.$$
Первый корень под квадратом неотрицателен при:
$$|a-3|\le5\ \Longleftrightarrow\ -2\le a\le8.$$
Второй — при:
$$|a-4|\le5\ \Longleftrightarrow\ -1\le a\le9.$$
Внутри диапазонов каждая пара имеет два корня, на концах — один. Но нужно сохранить только корни своей полупрямой. Центр первой пары равен 4 и при $a\le8$ правее границы $a/7$; центр второй равен $-3$ и при $a\ge-1$ левее этой границы.
Подставим общую границу в оба многочлена:
$$Q_1(a/7)=\frac{a^2}{49}-\frac{8a}7+a^2-6a$$
$$=\frac{a^2-56a+49a^2-294a}{49}=\frac{50a^2-350a}{49}=\frac{50a(a-7)}{49},$$
$$Q_2(a/7)=\frac{a^2}{49}+\frac{6a}7+a^2-8a$$
$$=\frac{a^2+42a+49a^2-392a}{49}=\frac{50a(a-7)}{49}.$$
Если граничное значение отрицательно ($0<a<7$), граница между корнями: от первой ветви остаётся больший, от второй меньший — всего два. Если значение положительно ($a<0$ или $a>7$), граница вне каждой пары. Поскольку центры расположены на разрешённых сторонах, при наличии двух корней они оба подходят. Если значение нулевое ($a=0$ или $a=7$), граница сама корень обеих ветвей: вместе с двумя другими корнями всего три.
Больше общих корней ветвей нет: обе формулы модуля могут совпасть только при $7z-a=0$. Теперь перечислим все интервалы и границы.
$$a<-2:0;$$
$$a=-2:1;$$
$$-2<a<-1:2;$$
$$a=-1:3;$$
$$-1<a<0:4;$$
$$a=0:3;$$
$$0<a<7:2;$$
$$a=7:3;$$
$$7<a<8:4;$$
$$a=8:3;$$
$$8<a<9:2;$$
$$a=9:1;$$
$$a>9:0.$$
Например, при $a=-1$ первая ветвь даёт два корня, вторая один двойной: всего три; при $a=8$ роли меняются. Эти граничные точки нельзя определить только по открытым интервалам, поэтому они проверены отдельно.
Выбираем числа корней 3 и 4. Ответ:
$$a\in [-1;0]\cup[7;8].$$