ФИПИ e76FF5 — Уравнения с параметром

Нужно найти параметры, при которых получается ровно два различных числа $x$. Для этого сначала разложим многочлен на множители, затем выпишем возможные корни каждого множителя. После этого отдельно учтём, когда корни существуют и когда совпадают. Переносим всё в левую часть и приводим подобные слагаемые. Исходное уравнение равносильно: $$a^{2} x^{2} - a^{2} x + a x^{4} - a x^{3} - a x + a - x^{3} + x^{2}=0.$$ Сначала проверим постоянного кандидата $x=1$. Подстановка в многочлен даёт нуль при любом $a$. По теореме Безу можно вынести множитель $x - 1$. Чтобы показать само деление, последовательно вычитаем произведения делителя на очередной член частного. $$(a^{2} x^{2} - a^{2} x + a x^{4} - a x^{3} - a x + a - x^{3} + x^{2})-(a x^{3})(x - 1)=a^{2} x^{2} - a^{2} x - a x + a - x^{3} + x^{2}.$$ $$(a^{2} x^{2} - a^{2} x - a x + a - x^{3} + x^{2})-(- x^{2})(x - 1)=a^{2} x^{2} - a^{2} x - a x + a.$$ $$(a^{2} x^{2} - a^{2} x - a x + a)-(a^{2} x)(x - 1)=- a x + a.$$ $$(- a x + a)-(- a)(x - 1)=0.$$ Остаток равен нулю. Полученное частное: $$a^{2} x^{2} - a^{2} x + a x^{4} - a x^{3} - a x + a - x^{3} + x^{2}=(x - 1)(a^{2} x + a x^{3} - a - x^{2}).$$ В оставшемся выражении сгруппируем слагаемые так, чтобы в обеих группах получилась одна и та же скобка. Раскрытие двух произведений ниже даёт именно предыдущее частное: $$a^{2} x + a x^{3} - a - x^{2}=(a x)(a + x^{2})+(-1)(a + x^{2}),$$ Выносим общую скобку: $$a^{2} x + a x^{3} - a - x^{2}=(1)(a x - 1)(a + x^{2}).$$ Уравнение полностью разложено: $$\left(a + x^{2}\right) \left(x - 1\right) \left(a x - 1\right)=0.$$ Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю. Кратность корня нам не нужна: одно и то же число при совпадении считаем один раз. Множитель 1: $$x - 1=0,$$ Переносим свободное слагаемое, затем делим на коэффициент при $x$: $$1x=1,$$ $$x=1.$$ Множитель 2: $$a x - 1=0,$$ Переносим свободное слагаемое, затем делим на коэффициент при $x$: $$ax=1,$$ $$x=\frac{1}{a}.$$ При $a=0$ коэффициент при $x$ равен нулю. Сам множитель тогда равен $-1$, поэтому этот множитель не даёт корней. Множитель 3 — квадратное уравнение: $$a + x^{2}=0.$$ Коэффициенты и дискриминант: $$A=1,\quad B=0,\quad C=a,$$ $$D=(0)^2-4(1)(a)=- 4 a.$$ При $D<0$ действительных корней нет; при $D=0$ один корень, при $D>0$ два. Подстановка в формулу корней даёт: $$x=\frac{-(0)\pm\sqrt{- 4 a}}{2(1)},$$ $$x=- \sqrt{- a}\quad\text{или}\quad x=\sqrt{- a}.$$ Проверим совпадение кандидата $x=1$ с корнем множителя $a x - 1$. Подставляем его в этот множитель: $$a - 1=0.$$ В области, где кандидат определён, знаменатель ненулевой. Поэтому нужно решить уравнение для числителя: $$a - 1=a - 1=0.$$ Его действительные решения по параметру: $a=1$. Проверим совпадение кандидата $x=1$ с корнем множителя $a + x^{2}$. Подставляем его в этот множитель: $$a + 1=0.$$ В области, где кандидат определён, знаменатель ненулевой. Поэтому нужно решить уравнение для числителя: $$a + 1=a + 1=0.$$ Его действительные решения по параметру: $a=-1$. Проверим совпадение кандидата $x=\frac{1}{a}$ с корнем множителя $a + x^{2}$. Подставляем его в этот множитель: $$\frac{\left(a + 1\right) \left(a^{2} - a + 1\right)}{a^{2}}=0.$$ В области, где кандидат определён, знаменатель ненулевой. Поэтому нужно решить уравнение для числителя: $$a^{3} + 1=\left(a + 1\right) \left(a^{2} - a + 1\right)=0.$$ Его действительные решения по параметру: $a=-1$. Это все значения, при которых может измениться число различных действительных корней: дискриминант становится нулём, линейный множитель перестаёт зависеть от $x$ или два кандидата совпадают. Между соседними такими значениями ни одно из событий не происходит. Поэтому на каждом открытом промежутке число корней постоянно. Разберём все промежутки и все граничные значения отдельно. $$a\in(-\infty;-1): \quad N=1+1+2=4.$$ Здесь слагаемые — количества действительных корней множителей в порядке их перечисления. Совпадений внутри промежутка нет, поскольку все параметры совпадения уже вынесены в границы. На границе подставляем параметр в множители и объединяем полученные корни: $$a=-1:\quad - \left(x - 1\right)^{2} \left(x + 1\right)^{2}=0,$$ $$x\in\{-1,1\},\quad N=2.$$ $$a\in(-1;0): \quad N=1+1+2=4.$$ Здесь слагаемые — количества действительных корней множителей в порядке их перечисления. Совпадений внутри промежутка нет, поскольку все параметры совпадения уже вынесены в границы. На границе подставляем параметр в множители и объединяем полученные корни: $$a=0:\quad - x^{2} \left(x - 1\right)=0,$$ $$x\in\{0,1\},\quad N=2.$$ $$a\in(0;1): \quad N=1+1+0=2.$$ Здесь слагаемые — количества действительных корней множителей в порядке их перечисления. Совпадений внутри промежутка нет, поскольку все параметры совпадения уже вынесены в границы. На границе подставляем параметр в множители и объединяем полученные корни: $$a=1:\quad \left(x - 1\right)^{2} \left(x^{2} + 1\right)=0,$$ $$x\in\{1\},\quad N=1.$$ $$a\in(1;+\infty): \quad N=1+1+0=2.$$ Здесь слагаемые — количества действительных корней множителей в порядке их перечисления. Совпадений внутри промежутка нет, поскольку все параметры совпадения уже вынесены в границы. Выбираем только строки, где число различных корней равно двум, и объединяем найденные параметры. Ответ: $$a\in \left\{-1\right\} \cup \left[0, 1\right) \cup \left(1, \infty\right).$$