Задание №18 ЕГЭ по математике: Задачи с параметром

Ищем параметры, при которых решений либо нет, либо ровно одно. В уравнение входят симметричные модули, поэтому удобно сначала считать не знаки корней, а их расстояния от нуля. Введём неотрицательные числа: $$c=|a-3|\ge0,\qquad t=|x|\ge0.$$ Поясним сумму модулей. Замена знака у $x$ или у $a-3$ лишь меняет два модуля местами, поэтому можно считать оба числа неотрицательными. Если $t\le c$, то: $$|t-c|+|t+c|=(c-t)+(t+c)=2c.$$ Если $t\ge c$, то: $$|t-c|+|t+c|=(t-c)+(t+c)=2t.$$ Следовательно, исходное уравнение равносильно двум случаям: $$\begin{cases}t^4+c^2=2c,&0\le t\le c,\\t^4+c^2=2t,&t\ge c.\end{cases}$$ При $t=0$ получается только $x=0$. Каждое положительное $t$ даёт уже два разных корня $x=t$ и $x=-t$. Поэтому достаточно выяснить, когда положительных решений $t$ нет. Случай $c>2$. В первой области левая часть больше правой: $$t^4+c^2\ge c^2>2c,\qquad c^2-2c=c(c-2)>0.$$ Во второй области $t\ge c>2$, поэтому $t^3>8>2$. Умножаем на положительное $t$: $$t^4>2t,\qquad t^4+c^2>2t.$$ Решений нет; такие параметры подходят. Случай $c=2$. В первой области: $$t^4+4=4\ \Longrightarrow\ t^4=0\ \Longrightarrow\ t=0.$$ Во второй области $t\ge2$ имеем $t^3\ge8>2$, так что $t^4+4>2t$. Получен только $x=0$, и этот случай тоже подходит. Случай $0<c<2$. Рассмотрим непрерывную функцию: $$F(t)=t^4+c^2-2\max(t,c).$$ Она непрерывна, потому что обе формулы совпадают при $t=c$. На концах отрезка $[0;2]$ получаем: $$F(0)=c^2-2c=c(c-2)<0,$$ $$F(2)=16+c^2-4=12+c^2>0.$$ При непрерывном переходе от отрицательного значения к положительному функция обязательно принимает ноль между ними. Поэтому существует $t$ строго между 0 и 2, а ему отвечают два разных $x$. Параметр не подходит. Остался $c=0$. Уравнение упрощается: $$t^4=2t,\qquad t^4-2t=t(t^3-2)=0.$$ Отсюда $t=0$ или $t=\sqrt[3]2>0$, то есть три корня $x=0,\sqrt[3]2,-\sqrt[3]2$. Это не подходит. Итак, необходимо и достаточно $c\ge2$. Возвращаемся к параметру: $$|a-3|\ge2\ \Longleftrightarrow\ a-3\le-2\ \text{или}\ a-3\ge2,$$ $$a\le1\ \text{или}\ a\ge5.$$ На границах $a=1,5$ получен ровно один корень; за границами корней нет. Ответ: $(-\infty;1]\cup[5;+\infty)$.

Нужно получить ровно две разные пары $(x;y)$. Второе уравнение выражает $y$ через $x$, поэтому каждому допустимому $x$ отвечает одна пара. Подставим $y=3x+a$ в первое уравнение: $$(x^2-5x-(3x+a)+3)\sqrt{x-(3x+a)+3}=0,$$ Раскроем скобки и соберём слагаемые: $$(x^2-8x-a+3)\sqrt{-2x-a+3}=0.$$ Корень определён при неотрицательном подкоренном выражении: $$-2x-a+3\ge0\ \Longleftrightarrow\ -2x\ge a-3\ \Longleftrightarrow\ x\le\frac{3-a}{2}=L.$$ При делении на отрицательное число знак неравенства поменялся. В допустимой области произведение равно нулю, если нулевой хотя бы один множитель. Сам квадратный корень равен нулю при $x=L$; это один корень при любом $a$. Теперь найдём корни другого множителя. Для выделения полного квадрата прибавим и вычтем 16: $$x^2-8x-a+3=(x^2-8x+16)-a-13=(x-4)^2-a-13.$$ $$(x-4)^2=a+13.$$ Если $a<-13$, правая часть отрицательна и дополнительных корней нет: остаётся только $L$. Если $a\ge-13$, введём $u=\sqrt{a+13}\ge0$. Тогда: $$a=u^2-13,\quad x_-=4-u,\quad x_+=4+u,$$ $$L=\frac{3-(u^2-13)}2=\frac{16-u^2}2=8-\frac{u^2}2.$$ Кандидат учитывается только при $x\le L$. Для меньшего корня: $$4-u\le8-\frac{u^2}2\ \Longleftrightarrow\ 8-2u\le16-u^2$$ $$u^2-2u-8\le0,\qquad u^2-2u-8=u(u-4)+2(u-4)=(u-4)(u+2).$$ Поскольку $u+2>0$, деление на него сохраняет знак: $u\le4$. Для большего корня: $$4+u\le8-\frac{u^2}2\ \Longleftrightarrow\ u^2+2u-8\le0,$$ $$u^2+2u-8=u(u+4)-2(u+4)=(u-2)(u+4).$$ Здесь $u+4>0$, поэтому требуется $u\le2$. Равенство в этих проверках означает, что кандидат совпал с уже учтённым $L$. Считаем различные корни. При $u=0$ оба $x_\pm=4$, а $L=8$: два корня. При $0<u<2$ оба кандидата допустимы и отличаются от $L$: три корня. При $u=2$ имеем $x_-=2$, $x_+=L=6$: два корня. При $2<u<4$ только $x_-$ дополняет $L$: два корня. При $u=4$ имеем $x_-=L=0$, а $x_+=8$ недопустим: один. При $u>4$ оба кандидата недопустимы: один. Значит, подходит $u=0$ либо $2\le u<4$. Возвращаемся к $a$: $$u=0\ \Longrightarrow\ a=-13;$$ $$2\le\sqrt{a+13}<4\ \Longleftrightarrow\ 4\le a+13<16\ \Longleftrightarrow\ -9\le a<3.$$ Ответ: $\{-13\}\cup[-9;3)$. Каждому найденному $x$ соответствует единственное $y=3x+a$, поэтому число пар совпадает с числом посчитанных корней.

Нужно четыре различных корня. Модуль раскрывается по знаку $x$, и на каждой стороне получается квадратное уравнение, у которого не больше двух корней. Поэтому нам нужны два положительных и два отрицательных корня. При $x>0$ подставим $|x|=x$, сложим $3x+9x=12x$ и умножим уравнение на $-1$: $$a^2-ax-2x^2-6a+12x=0,$$ $$2x^2+(a-12)x+6a-a^2=0.$$ При $x<0$ имеем $|x|=-x$, поэтому $3x-9x=-6x$: $$a^2-ax-2x^2-6a-6x=0,$$ $$2x^2+(a+6)x+6a-a^2=0.$$ Нулевой корень проверим отдельно: $$x=0:\quad a^2-6a=a(a-6)=0\ \Longrightarrow\ a=0\ \text{или}\ a=6.$$ Если ноль является корнем, он входит в обе квадратные формулы. У каждой тогда остаётся не более одного ненулевого корня, то есть всего не больше трёх. Значит, для четырёх корней ноль не подходит. Для квадратного уравнения $Ax^2+Bx+C=0$ при двух действительных корнях сумма равна $-B/A$, произведение $C/A$ (теорема Виета). Два положительных или два отрицательных числа имеют положительное произведение. Здесь в обеих ветвях: $$\frac{6a-a^2}{2}=\frac{a(6-a)}2>0.$$ Множители $a$ и $6-a$ одновременно положительны при $0<a<6$. Одновременно отрицательными они быть не могут. Вне этого интервала нужных двух корней одного знака нет. Проверим существование и различие корней с помощью дискриминантов: $$D_+=(a-12)^2-4\cdot2(6a-a^2)$$ $$D_+=a^2-24a+144-48a+8a^2=9a^2-72a+144$$ $$D_+=9(a^2-8a+16)=9(a-4)^2.$$ Он положителен при $a e4$. Для второй ветви: $$D_-=(a+6)^2-8(6a-a^2)$$ $$D_-=a^2+12a+36-48a+8a^2=9a^2-36a+36=9(a-2)^2.$$ Значит, необходимо также $a e2$. Убедимся в знаках действительных корней на $0<a<6$: $$x_1+x_2=\frac{12-a}2>0,\qquad z_1+z_2=-\frac{a+6}2<0.$$ Положительное произведение означает одинаковые знаки внутри каждой пары. Положительная сумма делает первую пару положительной, отрицательная сумму — вторую отрицательной. Все четыре корня допустимы, и положительный корень не может совпасть с отрицательным. При $a=2$ или $a=4$ одна пара сливается в один корень; при $a=0,6$ появляется общий ноль. Эти границы действительно исключены. Ответ: $(0;2)\cup(2;4)\cup(4;6)$.

Нужно четыре разных решения системы, то есть четыре разные пары $(x;y)$. Второе уравнение позволяет разбить поиск на две прямые. Перенесём $x^2$ влево и разложим разность квадратов: $$y^2-x^2=(y-x)(y+x)=0.$$ Значит, $y=x$ либо $y=-x$. Подставим каждое выражение в первое уравнение. Для $y=x$: $$x=(a+2)x^2+2ax+a-2,$$ $$(a+2)x^2+(2a-1)x+a-2=0.$$ Для $y=-x$: $$-x=(a+2)x^2+2ax+a-2,$$ $$(a+2)x^2+(2a+1)x+a-2=0.$$ Каждое квадратное уравнение даёт максимум две точки. Чтобы всего было четыре, обе пары должны существовать и быть различными. Если $a=-2$, квадратный член исчезает: обе ветви линейные и дают не более двух точек всего. Исключаем $a=-2$. При $a e-2$ два разных действительных корня существуют ровно при положительном дискриминанте. Вычисляем первый: $$D_1=(2a-1)^2-4(a+2)(a-2)$$ $$D_1=4a^2-4a+1-4(a^2-4)=4a^2-4a+1-4a^2+16=17-4a.$$ Аналогично второй: $$D_2=(2a+1)^2-4(a+2)(a-2)$$ $$D_2=4a^2+4a+1-4a^2+16=17+4a.$$ Оба должны быть положительны: $$17-4a>0\ \Longrightarrow\ a<\frac{17}4,\qquad17+4a>0\ \Longrightarrow\ a>-\frac{17}4.$$ Остаётся проверить, не считают ли две ветви одну точку дважды. Общая точка прямых удовлетворяет одновременно $y=x$ и $y=-x$. Тогда $x=-x$, то есть $2x=0$ и $x=y=0$. Подставим эту точку в первое уравнение: $$0=(a+2)\cdot0^2+2a\cdot0+a-2=a-2\ \Longrightarrow\ a=2.$$ При $a=2$ две пары имеют ровно одну общую точку, поэтому различных решений три. Исключаем и этот параметр. Других совпадений быть не может, поскольку прямые пересекаются только в начале координат. При найденных остальных параметрах дискриминанты положительны, квадратный коэффициент ненулевой, пары не пересекаются: получается ровно четыре решения. Ответ: $(-17/4;-2)\cup(-2;2)\cup(2;17/4)$.

Нужно ровно два различных корня. Модуль неотрицателен, поэтому правая часть тоже должна быть неотрицательной: $$2x-2a\ge0\ \Longleftrightarrow\ x\ge a.$$ На этой полупрямой равенство $|U|=V$ при $V\ge0$ равносильно $U=V$ или $U=-V$. Отдельных дополнительных условий на знак $U$ не требуется: выбранное равенство само определяет его знак. Получаем: $$x^2+a^2-6x+4a=2x-2a\ \Longleftrightarrow\ Q_1(x)=x^2-8x+a^2+6a=0,$$ $$x^2+a^2-6x+4a=-(2x-2a)\ \Longleftrightarrow\ Q_2(x)=x^2-4x+a^2+2a=0.$$ Выделим полные квадраты, добавляя к $x^2-8x$ число 16, а к $x^2-4x$ число 4: $$(x-4)^2=16-(a^2+6a)=25-(a+3)^2,$$ $$(x-2)^2=4-(a^2+2a)=5-(a+1)^2.$$ Первое уравнение имеет два корня при положительной правой части, один при нуле и ни одного при отрицательной. То же верно для второго. Неотрицательность правых частей даёт соответственно: $$a\in[-8;2]\quad\text{и}\quad a\in[-1-\sqrt5;-1+\sqrt5].$$ Внутри этих диапазонов центры корней 4 и 2 лежат правее разрешённой границы $x=a$. Чтобы узнать, какие корни попали вправо от неё, подставим границу в оба трёхчлена: $$Q_1(a)=(a)^2-8(a)+a^2+6a=2a^2-2a=2a(a-1),$$ $$Q_2(a)=(a)^2-4(a)+a^2+2a=2a^2-2a=2a(a-1).$$ Почему эта проверка считает корни? Квадратный трёхчлен со старшим коэффициентом $+1$ отрицателен между двумя корнями и положителен вне них. Если значение на границе отрицательно, граница между корнями: подходит только больший. Если положительно и центр пары правее границы, оба корня правее: подходят оба. Если значение равно нулю, один корень стоит на разрешённой границе, второй правее: оба подходят. При нулевой правой части уравнения в квадратах корень один, и он также справа от границы. При $a<0$ или $a>1$ граничное значение положительно; при $0<a<1$ отрицательно; при $a=0,1$ равно нулю. Корни разных ветвей могут совпасть только там, где одновременно $U=V$ и $U=-V$. Тогда $2V=0$, то есть $x=a$. Значит, совпадения бывают только при нулевом граничном значении. В этих двух случаях каждая ветвь даёт по два корня, но граничный общий, поэтому всего $2+2-1=3$. Соберём полный подсчёт. Вне диапазона существования соответствующая ветвь даёт ноль; на концах диапазона один корень; внутри — один или два по только что доказанному правилу. Получается: $$a<-8:0;$$ $$a=-8:1;$$ $$-8<a<-1-\sqrt5:2;$$ $$a=-1-\sqrt5:3;$$ $$-1-\sqrt5<a<0:4;$$ $$a=0:3;$$ $$0<a<1:2;$$ $$a=1:3;$$ $$1<a<-1+\sqrt5:4;$$ $$a=-1+\sqrt5:3;$$ $$-1+\sqrt5<a<2:2;$$ $$a=2:1;$$ $$a>2:0.$$ Из перечисленных случаев выбираем только нужное число различных корней. Все границы уже посчитаны отдельно, поэтому ответ: $$a\in (-8;-1-\sqrt5)\cup(0;1)\cup(-1+\sqrt5;2).$$

Требуется ровно два разных корня. Выражение $x+4/x$ повторяется, поэтому заменим его одной буквой. Сначала область определения: $x e0$. Введём: $$t=x+\frac4x.$$ Чтобы понять, сколько $x$ даёт каждое $t$, умножим это равенство на ненулевой $x$ и перенесём всё влево: $$tx=x^2+4,\qquad x^2-tx+4=0.$$ Дискриминант равен: $$D_x=(-t)^2-4\cdot1\cdot4=t^2-16.$$ Если $|t|<4$, дискриминант отрицателен и корней $x$ нет. Если $t=\pm4$, корень один. Если $|t|>4$, корня два. Ни один из них не равен нулю: при $x=0$ левая часть квадратного уравнения равна 4. После замены исходное уравнение имеет вид: $$at^2+2t-25a+10=0.$$ Разложение получим группировкой: $$at^2-25a+2t+10=a(t^2-25)+2(t+5)$$ $$=a(t-5)(t+5)+2(t+5)=(t+5)(a(t-5)+2).$$ Первый множитель всегда даёт $t=-5$. Найдём соответствующие $x$: $$x^2+5x+4=0,\qquad x^2+5x+4=x(x+1)+4(x+1)=(x+1)(x+4).$$ Уже получены два корня $x=-1,-4$. Поэтому второй множитель не должен добавлять новых $x$. При $a=0$ второй множитель равен 2 и никогда не обращается в ноль. Остаются ровно два корня: $a=0$ подходит. При $a e0$: $$a(t-5)+2=0\ \Longrightarrow\ a(t-5)=-2\ \Longrightarrow\ t=5-\frac2a.$$ Этот уровень не добавляет корней либо когда он лежит строго между $-4$ и 4, либо когда совпадает с уже учтённым $-5$. Уровни $\pm4$ добавляют по одному новому корню и не подходят. Решим первое условие: $$-4<5-\frac2a<4\ \Longleftrightarrow\ -9<-\frac2a<-1\ \Longleftrightarrow\ 1<\frac2a<9.$$ Из положительности $2/a$ следует $a>0$. Теперь можем умножать на $a$ без смены знаков: $$a<2<9a\ \Longleftrightarrow\ a<2\ \text{и}\ a>\frac29.$$ Для совпадения уровней: $$5-\frac2a=-5\ \Longleftrightarrow\ \frac2a=10\ \Longleftrightarrow\ 2=10a\ \Longleftrightarrow\ a=\frac15.$$ Разным уровням $t$ не может соответствовать один и тот же $x$, поскольку выражение $x+4/x$ при фиксированном $x$ имеет одно значение. Поэтому никаких скрытых совпадений больше нет. Ответ: $\{0;1/5\}\cup(2/9;2)$.

Нужно получить ровно два различных корня дробного уравнения. Дробь равна нулю только при двух одновременных условиях: её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Поэтому сначала найдём все корни числителя, затем проверим каждый в знаменателе. Приравниваем числитель к нулю и прибавляем $a^2$ к обеим частям: $$4x^2-a^2=0,$$ $$4x^2=a^2.$$ Левая часть — квадрат произведения. Одинаковые квадраты получаются у равных или противоположных чисел: $$(2x)^2=a^2,$$ $$2x=a\quad\text{или}\quad 2x=-a.$$ Делим обе ветви на 2: $$x_1=\frac a{2},\qquad x_2=-\frac a{2}.$$ Сначала проверяем, когда два кандидата совпадают: $$\frac a{2}=-\frac a{2},\qquad a=-a,\qquad2a=0,\qquad a=0.$$ При $a=0$ есть лишь один кандидат $x=0$. Знаменатель в нём равен $9 e0$, то есть корень один, а нужны два. Поэтому $a=0$ исключаем. Теперь проверяем допустимость обоих кандидатов. Обозначим знаменатель через $D(x)$. По формуле квадрата суммы: $$D(x)=x^2+6x+9-a^2=(x+3)^2-a^2.$$ Подставляем $x=\frac a{2}$. Отрицательное число в квадрате даёт тот же квадрат, а линейный член сохраняет знак: $$D\left(\frac a{2}\right)=\frac{a^2}{4}+\frac{6a}{2}+9-a^2.$$ Приводим слагаемые к общему знаменателю 4: $$D\left(\frac a{2}\right)=\frac{a^2+12a+36-4a^2}{4}$$ $$D\left(\frac a{2}\right)=\frac{-3a^2+12a+36}{4}.$$ Кандидат запрещён, когда эта дробь равна нулю. Её знаменатель ненулевой; решаем квадратное уравнение для числителя: $$-3a^2+12a+36=0.$$ Дискриминант и его квадратный корень: $$\Delta=(12)^2-4\cdot(-3)\cdot36=144+432=576,$$ $$\sqrt\Delta=24.$$ Подставляем в формулу корней и вычисляем оба значения: $$a=\frac{-(12)\pm24}{2\cdot(-3)},$$ $$a_1=\frac{12}{-6}=-2,\qquad a_2=\frac{-36}{-6}=6.$$ Эти значения исключаем, потому что один из двух найденных кандидатов обнуляет знаменатель. Подставляем $x=-\frac a{2}$. Отрицательное число в квадрате даёт тот же квадрат, а линейный член сохраняет знак: $$D\left(-\frac a{2}\right)=\frac{a^2}{4}-\frac{6a}{2}+9-a^2.$$ Приводим слагаемые к общему знаменателю 4: $$D\left(-\frac a{2}\right)=\frac{a^2-12a+36-4a^2}{4}$$ $$D\left(-\frac a{2}\right)=\frac{-3a^2-12a+36}{4}.$$ Кандидат запрещён, когда эта дробь равна нулю. Её знаменатель ненулевой; решаем квадратное уравнение для числителя: $$-3a^2-12a+36=0.$$ Дискриминант и его квадратный корень: $$\Delta=(-12)^2-4\cdot(-3)\cdot36=144+432=576,$$ $$\sqrt\Delta=24.$$ Подставляем в формулу корней и вычисляем оба значения: $$a=\frac{-(-12)\pm24}{2\cdot(-3)},$$ $$a_1=\frac{36}{-6}=2,\qquad a_2=\frac{-12}{-6}=-6.$$ Эти значения исключаем, потому что один из двух найденных кандидатов обнуляет знаменатель. Объединяем все запреты. Если параметр не входит в этот список, кандидаты различны и знаменатель в обоих ненулевой. Поэтому оба являются корнями исходного уравнения. Других корней нет, поскольку числитель квадратный и уже решён полностью. Ответ: $$a\in\mathbb R\setminus\{-6,-2,0,2,6\}.$$

Нужно ровно два разных $x$. Повторяющееся выражение обозначим через $t=f_a(x)$: $$f_a(x)=4x+|x-a|-|3x+1|,\qquad t^2-(a+1)t+1=0.$$ Сначала выясним, сколько $x$ даёт каждый уровень $t$. Модули меняют формулы при $x=a$ и $x=-1/3$. Их порядок зависит от $a$. Если $a<-1/3$, последовательно раскрываем оба модуля: $$x<a:\ f_a=4x+(a-x)-(-3x-1)=6x+a+1;$$ $$a\le x<-1/3:\ f_a=4x+(x-a)-(-3x-1)=8x-a+1;$$ $$x\ge-1/3:\ f_a=4x+(x-a)-(3x+1)=2x-a-1.$$ Все три коэффициента при $x$ положительны: 6, 8, 2. Формулы совпадают на стыках, функция непрерывна и строго возрастает от минус бесконечности до плюс бесконечности. Поэтому каждому действительному уровню отвечает ровно один $x$. Если $a\ge-1/3$, порядок точек другой: $$x<-1/3:\ f_a=6x+a+1;$$ $$-1/3\le x\le a:\ f_a=4x+(a-x)-(3x+1)=a-1;$$ $$x>a:\ f_a=2x-a-1.$$ Левая часть принимает все уровни ниже $a-1$ ровно один раз, правая — все уровни выше $a-1$ ровно один раз. Если $a>-1/3$, самому уровню $a-1$ соответствует целый отрезок, то есть бесконечно много $x$. При $a=-1/3$ отрезок сжимается в одну точку; этот параметр проверим дискриминантом. Теперь решаем вопрос о двух уровнях $t$. Дискриминант: $$D=(-(a+1))^2-4=(a+1)^2-4$$ $$D=a^2+2a+1-4=a^2+2a-3=(a-1)(a+3).$$ При $-3<a<1$ он отрицателен: уровней нет, в том числе при $a=-1/3$. При $a=-3$ или $a=1$ уровень один: $$t=\frac{a+1}2:\quad a=-3\Rightarrow t=-1;\qquad a=1\Rightarrow t=1.$$ При $a=-3$ функция строго возрастает, поэтому $x$ один. При $a=1$ постоянный уровень равен $a-1=0$, не 1, поэтому $x$ снова один. Границы не подходят. Два различных уровня существуют при $a<-3$ или $a>1$. Для $a<-3$ каждый даёт один $x$, значит, все эти параметры подходят. Для $a>1$ надо исключить попадание уровня на постоянный участок. Подставим $t=a-1$ в квадратный многочлен: $$(a-1)^2-(a+1)(a-1)+1$$ $$=a^2-2a+1-(a^2-1)+1=3-2a.$$ Уровень становится корнем при: $$3-2a=0\ \Longrightarrow\ a=\frac32.$$ Тогда $x$ бесконечно много, поэтому параметр запрещён. При всех остальных $a>1$ оба различных уровня имеют по одному прообразу. Ответ: $(-\infty;-3)\cup(1;3/2)\cup(3/2;+\infty)$.

Нужно получить одно различное решение на заданном отрезке. Из-за тангенса сначала исключаем точки, где он не определён: $\tan x=\sin x/\cos x$, поэтому требуется $\cos x\ne0$. Обозначим $u=2x+a$. Разность квадратов раскладывается как $(A-B)(A+B)$. Края отрезка $-\pi/2$ и $\pi/2$ запрещены тангенсом. Реальная область поиска: $$-\frac\pi2<x<\frac\pi2.$$ Берём $A=u+1+\tan x$, $B=u-1-\tan x$. Их сумма и разность: $$A-B=2+2\tan x=2(1+\tan x),\qquad A+B=2u.$$ Уравнение после разложения: $$4u(1+\tan x)=0,$$ $$(2x+a)(1+\tan x)=0.$$ Один множитель даёт постоянный корень: $$1+\tan x=0,\quad\tan x=-1,\quad x=-\frac\pi4.$$ На открытом промежутке тангенс строго возрастает, поэтому других решений этой ветви нет. Корень всегда допустим. Другой множитель даёт кандидата, зависящего от параметра: $$2x+a=0,\quad2x=-a,\quad x=-\frac a2.$$ Он попадает в область поиска, когда: $$-\frac\pi2<-\frac a2<\frac\pi2.$$ Умножаем на −2. При умножении неравенств на отрицательное число оба знака меняются: $$\pi>a>-\pi,\quad -\pi<a<\pi.$$ Поэтому при $a\le-\pi$ или $a\ge\pi$ второго корня нет: остаётся один постоянный корень. Внутри этого диапазона второй кандидат обычно добавляет второй корень. Единственное исключение — совпадение: $$-\frac a2=-\frac\pi4,\quad a=\frac\pi2.$$ Края параметрического промежутка включаем: при них переменный кандидат попадает в запрещённый край отрезка. Ответ: $$a\in(-\infty;-\pi]\cup\{\frac\pi2\}\cup[\pi;+\infty).$$

Нужно получить одно различное решение на заданном отрезке. Из-за тангенса сначала исключаем точки, где он не определён: $\tan x=\sin x/\cos x$, поэтому требуется $\cos x\ne0$. Обозначим $u=2x+a$. Разность квадратов раскладывается как $(A-B)(A+B)$. На отрезке $[0;\pi]$ тангенс запрещён только при $x=\pi/2$. Берём $A=u+1-\tan x$, $B=u-1+\tan x$. Тогда: $$A-B=2(1-\tan x),\qquad A+B=2u.$$ После разложения и деления на 4: $$(2x+a)(1-\tan x)=0.$$ Постоянный кандидат: $$\tan x=1,\qquad x=\frac\pi4+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$ На отрезке $[0;\pi]$ подходит только $n=0$, то есть $x=\pi/4$. Переменный кандидат: $$2x+a=0,\quad2x=-a,\quad x=-\frac a2.$$ Чтобы он не добавил второй корень, он должен оказаться вне отрезка, в запрещённой точке или совпасть с постоянным корнем. Первая возможность: $$-\frac a2<0\quad\text{или}\quad-\frac a2>\pi.$$ Умножая на отрицательное число −2, меняем направления знаков: $$a>0\quad\text{или}\quad a<-2\pi.$$ Вторая возможность — попасть в запрещённую точку: $$-\frac a2=\frac\pi2,\qquad a=-\pi.$$ Третья — совпасть с постоянным корнем: $$-\frac a2=\frac\pi4,\qquad a=-\frac\pi2.$$ При $a=0$ переменный кандидат равен 0, а при $a=-2\pi$ равен $\pi$. Оба края определены и отличаются от $\pi/4$, поэтому эти границы не подходят. Во всех других случаях переменный кандидат определён, принадлежит отрезку и добавляет второй корень. Ответ: $$a\in(-\infty;-2\pi)\cup\{-\pi;-\frac\pi2\}\cup(0;+\infty).$$

Нужны ровно две точки пересечения. Сначала поймём, какое множество задаёт первое уравнение. Область определения корня: $$x-y+3\ge0\ \Longleftrightarrow\ y\le x+3.$$ Произведение равно нулю либо при нулевом корне $y=x+3$, либо при нулевом первом множителе $y=x^2-5x+3$. Для параболы сохраним ограничение: $$x^2-5x+3\le x+3\ \Longleftrightarrow\ x^2-6x\le0$$ $$x(x-6)\le0\ \Longleftrightarrow 0\le x\le6.$$ Итак, есть вся прямая $y=x+3$ и дуга параболы на $[0;6]$. Их общие точки — концы дуги $(0;3)$ и $(6;9)$. Вторая прямая $y=a(x+1)$. С полной прямой она пересекается, если: $$a(x+1)=x+3\ \Longleftrightarrow\ (a-1)x=3-a.$$ При $a e1$ есть ровно одна точка. При $a=1$ получилось бы $0=2$, то есть прямые параллельны и общих точек нет. Теперь считаем пересечения с дугой. На $[0;6]$ число $x+1>0$, поэтому можно выразить $a$: $$a=\frac{x^2-5x+3}{x+1}.$$ Разделим числитель: $(x+1)(x-6)=x^2-5x-6$, поэтому: $$x^2-5x+3=(x+1)(x-6)+9,$$ $$a=g(x)=x-6+\frac9{x+1}.$$ Чтобы понять, сколько раз горизонталь $a$ пересечёт график $g$, найдём промежутки убывания и возрастания. Для этого вычислим производную. Производная $x$ равна 1, постоянного числа $-6$ — 0. Для последней дроби обозначим $u=x+1$. Тогда $u'=1$, а по правилу производной обратной величины $(1/u)'=-u'/u^2$: $$\left(\frac9{x+1}\right)'=-\frac{9\cdot1}{(x+1)^2}=-\frac9{(x+1)^2}.$$ Складываем производные и приводим к общему знаменателю: $$g'(x)=1-\frac9{(x+1)^2}=\frac{(x+1)^2-9}{(x+1)^2}.$$ Числитель — разность квадратов $(x+1)^2-3^2$. По формуле $v^2-w^2=(v-w)(v+w)$: $$(x+1)^2-9=(x+1-3)(x+1+3)=(x-2)(x+4).$$ Поэтому $$g'(x)=\frac{(x-2)(x+4)}{(x+1)^2}.$$ На рассматриваемом отрезке $0\le x\le6$ знаменатель положителен, как и $x+4$. Знак производной совпадает со знаком $x-2$: при $x<2$ он отрицательный, при $x>2$ положительный. Отрицательная производная означает убывание функции, положительная — возрастание. Значит, $g$ строго убывает на $[0;2]$ и строго возрастает на $[2;6]$; при $x=2$ достигается минимум. Вычислим значения в концах этих двух участков с явной подстановкой: $$g(0)=0-6+\frac9{0+1}=-6+9=3,$$ $$g(2)=2-6+\frac9{2+1}=-4+\frac93=-4+3=-1,$$ $$g(6)=6-6+\frac9{6+1}=0+\frac97=\frac97.$$ На первом участке график проходит все уровни от3 до−1 ровно по одному разу, на втором — все уровни от−1 до$9/7$ тоже ровно по одному разу. Уровень−1 достигается на общей границе$x=2$, поэтому его надо считать один раз. При $a<-1$ или $a>3$ дуга не даёт точек, полная прямая одну: всего одна. При $a=-1$ дуга даёт одну точку при $x=2$, полная прямая ещё одну: всего две. При $-1<a<9/7$ дуга даёт по одной точке на каждой стороне минимума, всего две. Полная прямая обычно добавляет третью, кроме $a=1$: при нём она не пересекается вообще, и остаются две точки. Отдельно проверим уровни, при которых пересечение с дугой может совпасть с точкой на полной прямой. Эти два множества имеют только два общих конца, поэтому подставим их во второе уравнение: $$(x;y)=(0;3):\qquad3=a(0+1),\qquad a=3;$$ $$(x;y)=(6;9):\qquad9=a(6+1),\qquad7a=9,\qquad a=9/7.$$ На границе $a=9/7$ дуга даёт две точки: на убывающей ветви одну внутреннюю, на возрастающей — конец $(6;9)$. Полная прямая даёт ещё одну точку, но это тот же конец. Число различных решений равно $2+1-1=2$. При $9/7<a<3$ возрастающая ветвь уже не достигает уровня$a$, а убывающая пересекает его один раз внутри дуги. Пересечение с полной прямой тоже существует и не совпадает с концами, поскольку$a$ не равно3 и$9/7$. Всего две точки. При $a=3$ дуга даёт только конец $(0;3)$; он же является единственным пересечением с полной прямой. Всего одна различная точка, поэтому этот параметр исключаем. Других совпадений нет, потому что дуга и полная прямая имеют только два уже рассмотренных общих конца. Ответ: $\{-1;1\}\cup[9/7;3)$.

Нужно ровно два различных корня. Модуль относится к выражению $x+1$, поэтому обозначим его через $t$: $$t=x+1,\qquad x=t-1.$$ Замена взаимно однозначна: каждому $t$ отвечает ровно один $x$. Подставляем: $$t|t|=2(t-1)-a=2t-2-a,$$ $$t|t|-2t=-a-2.$$ Обозначим правую часть через $b=-a-2$. Найдём, сколько раз левая часть принимает значение $b$. При $t\ge0$ раскрываем $|t|=t$ и выделяем квадрат: $$t|t|-2t=t^2-2t=t^2-2t+1-1=(t-1)^2-1.$$ На $[0;1]$ квадрат $(t-1)^2$ уменьшается от 1 до 0, а после 1 растёт без ограничения. Поэтому ветвь идёт от 0 до минимума $-1$, затем вверх. При $t<0$ имеем $|t|=-t$: $$t|t|-2t=-t^2-2t=-(t^2+2t+1)+1=1-(t+1)^2.$$ Эта ветвь возрастает до максимума 1 при $t=-1$, затем убывает к 0. Сам $t=0$ учитываем только в первой ветви. Подсчитаем корни по уровням. Если $b<-1$, положительная ветвь недостижима, а отрицательная даёт один корень слева от $-1$. Если $b>1$, отрицательная ветвь недостижима, а положительная даёт один корень справа от 1. При $-1<b<0$ положительная ветвь пересекает уровень дважды, отрицательная — один раз. При $0<b<1$ положительная даёт один корень, отрицательная два: в обоих случаях всего три. При $b=0$ проверим вычислением: $$t\ge0:\ t^2-2t=t(t-2)=0\ \Longrightarrow\ t=0,2;$$ $$t<0:\ -t^2-2t=-t(t+2)=0\ \Longrightarrow\ t=-2.$$ Снова три корня. Остались граничные уровни $b=-1$ и $b=1$. При $b=-1$: $$t\ge0:\ (t-1)^2-1=-1\ \Longrightarrow\ t=1;$$ $$t<0:\ 1-(t+1)^2=-1\ \Longrightarrow\ (t+1)^2=2\ \Longrightarrow\ t=-1\pm\sqrt2.$$ Из последних двух значений только $-1-\sqrt2$ отрицательно; $-1+\sqrt2>0$ не относится к своей ветви. Всего два. При $b=1$: $$t<0:\ 1-(t+1)^2=1\ \Longrightarrow\ t=-1;$$ $$t\ge0:\ (t-1)^2-1=1\ \Longrightarrow\ t=1\pm\sqrt2.$$ Только $1+\sqrt2$ неотрицательно: снова два корня. Все уровни рассмотрены, поэтому нужны только $b=\pm1$. Возвращаемся к $a$: $$-a-2=-1\ \Longrightarrow\ a=-1;\qquad -a-2=1\ \Longrightarrow\ a=-3.$$ Ответ: $a\in\{-3;-1\}$.

Нужно получить ровно один корень на отрезке $[0;1]$. Сначала найдём все возможные корни, а затем для каждого параметра проверим, какие из них определены и лежат на отрезке. Логарифм существует только при положительном аргументе: $$x+2a>0.$$ Переносим квадрат правой части влево. Применяем разность квадратов $A^2-B^2=(A-B)(A+B)$. Здесь $A=2x+\ln(x+2a)$, $B=2x-\ln(x+2a)$. Вычисляем разность и сумму: $$A-B=2\ln(x+2a),\qquad A+B=4x.$$ Подставляем в разложение и делим на ненулевую константу: $$8x\ln(x+2a)=0,$$ $$x\ln(x+2a)=0.$$ Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю. Первая ветвь — $x=0$. Этот корень лежит на заданном отрезке, но его ещё должен допускать логарифм: $$0+2a>0,\qquad a>0.$$ Вторая ветвь — нулевой логарифм. Логарифм числа 1 равен нулю, и других таких положительных аргументов нет: $$\ln(x+2a)=0,\qquad x+2a=1,\qquad x=1-2a.$$ В этой точке аргумент уже равен 1, поэтому область определения соблюдена. Осталось попасть в отрезок: $$0\le1-2a\le1.$$ Решаем два неравенства по отдельности: $$1-2a\ge0,\qquad 2a\le1,\qquad a\le0{,}5,$$ $$1-2a\le1,\qquad -2a\le0,\qquad a\ge0.$$ Значит, второй кандидат существует при: $$0\le a\le0{,}5.$$ Теперь считаем именно различные корни. При $a<0$ ни один кандидат не допускается. При $a=0$ нулевой кандидат запрещён логарифмом, зато второй равен 1: корень один. При $0<a<0{,}5$ ноль допустим, и второй кандидат лежит строго между 0 и 1: корней два. В правой граничной точке кандидаты совпадают: $$a=0{,}5:\quad x_2=1-2\cdot0{,}5=0=x_1.$$ Это один различный корень. При $a>0{,}5$ второй кандидат отрицателен и выходит за отрезок, а $x=0$ остаётся допустимым. Поэтому подходят отдельное значение 0 и весь промежуток, начиная с правой границы. Ответ: $$a\in\{0\}\cup[0{,}5;+\infty).$$

Нужно посчитать нули произведения, одновременно сохранив область определения логарифма и корня. Начнём с ограничений, а затем получим двух кандидатов. Логарифм требует положительного аргумента. На заданном отрезке это означает: $$4x-1>0,\quad4x>1,\quad x>\frac14,\qquad x\le3.$$ В подкоренном выражении выделяем квадраты. Проверяем раскрытие скобок: $$(x-3)^2-(a-3)^2=(x^2-6x+9)-(a^2-6a+9)$$ $$(x-3)^2-(a-3)^2=x^2-6x+6a-a^2.$$ Обозначим $b=|a-3|\ge0$. Условие корня: $$(x-3)^2\ge b^2.$$ Так как $x\le3$, разность $3-x$ неотрицательна. Поэтому сравнение квадратов равносильно сравнению неотрицательных величин: $$3-x\ge b,\quad x\le3-b.$$ Общая область определения на отрезке: $$\frac14<x\le3-b.$$ Она непуста только при $3-b>1/4$. Вычитаем $1/4$ и переносим $b$: $$b<3-\frac14=\frac{11}{4}.$$ Первый множитель равен нулю, когда его аргумент равен 1: $$\ln(4x-1)=0,\quad4x-1=1,\quad4x=2,\quad x_1=\frac12.$$ Этот кандидат допустим тогда и только тогда, когда он не правее верхней границы области: $$\frac12\le3-b,\quad b\le3-\frac12=\frac52.$$ Второй множитель равен нулю, когда подкоренное выражение равно нулю: $$(3-x)^2=b^2,\quad3-x=b,\quad x_2=3-b.$$ Он всегда находится на правой границе области определения, если та непуста. При $0\le b<5/2$ имеем $x_2>1/2$: оба кандидата допустимы и различны, значит, корней два. При $b=5/2$ они совпадают в $1/2$, и корень один. При $5/2<b<11/4$ кандидат $1/2$ уже не входит в область, но $x_2$ остаётся: тоже один корень. При $b\ge11/4$ область пуста. Получаем условие и возвращаемся к исходному параметру: $$\frac52\le b<\frac{11}{4},\qquad\frac52\le|a-3|<\frac{11}{4}.$$ Справа от 3 модуль равен $a-3$. Прибавляем 3 к границам: $$\frac52\le a-3<\frac{11}{4},\qquad\frac{11}{2}\le a<\frac{23}{4}.$$ Слева от 3 модуль равен $3-a$. Вычитание из 3 меняет порядок границ: $$\frac52\le3-a<\frac{11}{4},\qquad\frac14<a\le\frac12.$$ Ответ: $$a\in(\frac14;\frac12]\cup[\frac{11}{2};\frac{23}{4}).$$

Нужно ровно четыре различных корня. Модуль неотрицателен, поэтому правая часть тоже должна быть неотрицательной: $$2x+2a\ge0\ \Longleftrightarrow\ x\ge -a.$$ На этой полупрямой равенство $|U|=V$ при $V\ge0$ равносильно $U=V$ или $U=-V$. Отдельных дополнительных условий на знак $U$ не требуется: выбранное равенство само определяет его знак. Получаем: $$x^2+a^2-6x-4a=2x+2a\ \Longleftrightarrow\ Q_1(x)=x^2-8x+a^2-6a=0,$$ $$x^2+a^2-6x-4a=-(2x+2a)\ \Longleftrightarrow\ Q_2(x)=x^2-4x+a^2-2a=0.$$ Выделим полные квадраты, добавляя к $x^2-8x$ число 16, а к $x^2-4x$ число 4: $$(x-4)^2=16-(a^2-6a)=25-(a-3)^2,$$ $$(x-2)^2=4-(a^2-2a)=5-(a-1)^2.$$ Первое уравнение имеет два корня при положительной правой части, один при нуле и ни одного при отрицательной. То же верно для второго. Неотрицательность правых частей даёт соответственно: $$a\in[-2;8]\quad\text{и}\quad a\in[1-\sqrt5;1+\sqrt5].$$ Внутри этих диапазонов центры корней 4 и 2 лежат правее разрешённой границы $x=-a$. Чтобы узнать, какие корни попали вправо от неё, подставим границу в оба трёхчлена: $$Q_1(-a)=(-a)^2-8(-a)+a^2-6a=2a^2+2a=2a(a+1),$$ $$Q_2(-a)=(-a)^2-4(-a)+a^2-2a=2a^2+2a=2a(a+1).$$ Почему эта проверка считает корни? Квадратный трёхчлен со старшим коэффициентом $+1$ отрицателен между двумя корнями и положителен вне них. Если значение на границе отрицательно, граница между корнями: подходит только больший. Если положительно и центр пары правее границы, оба корня правее: подходят оба. Если значение равно нулю, один корень стоит на разрешённой границе, второй правее: оба подходят. При нулевой правой части уравнения в квадратах корень один, и он также справа от границы. При $a<-1$ или $a>0$ граничное значение положительно; при $-1<a<0$ отрицательно; при $a=-1,0$ равно нулю. Корни разных ветвей могут совпасть только там, где одновременно $U=V$ и $U=-V$. Тогда $2V=0$, то есть $x=-a$. Значит, совпадения бывают только при нулевом граничном значении. В этих двух случаях каждая ветвь даёт по два корня, но граничный общий, поэтому всего $2+2-1=3$. Соберём полный подсчёт. Вне диапазона существования соответствующая ветвь даёт ноль; на концах диапазона один корень; внутри — один или два по только что доказанному правилу. Получается: $$a<-2:0;$$ $$a=-2:1;$$ $$-2<a<1-\sqrt5:2;$$ $$a=1-\sqrt5:3;$$ $$1-\sqrt5<a<-1:4;$$ $$a=-1:3;$$ $$-1<a<0:2;$$ $$a=0:3;$$ $$0<a<1+\sqrt5:4;$$ $$a=1+\sqrt5:3;$$ $$1+\sqrt5<a<8:2;$$ $$a=8:1;$$ $$a>8:0.$$ Из перечисленных случаев выбираем только нужное число различных корней. Все границы уже посчитаны отдельно, поэтому ответ: $$a\in (1-\sqrt5;-1)\cup(0;1+\sqrt5).$$

Требуется ровно два различных корня. Для удобства обозначим исходную переменную через $z$; её значение не меняется. Уравнение: $$z^2+a^2-z-7a=|7z-a|.$$ Раскрываем модуль по знаку $7z-a$. При $z\ge a/7$: $$z^2+a^2-z-7a=7z-a\ \Longleftrightarrow\ Q_1(z)=z^2-8z+a^2-6a=0.$$ При $z\le a/7$: $$z^2+a^2-z-7a=-7z+a\ \Longleftrightarrow\ Q_2(z)=z^2+6z+a^2-8a=0.$$ Выделим полные квадраты: $$(z-4)^2=16-a^2+6a=25-(a-3)^2,$$ $$(z+3)^2=9-a^2+8a=25-(a-4)^2.$$ Первый корень под квадратом неотрицателен при: $$|a-3|\le5\ \Longleftrightarrow\ -2\le a\le8.$$ Второй — при: $$|a-4|\le5\ \Longleftrightarrow\ -1\le a\le9.$$ Внутри диапазонов каждая пара имеет два корня, на концах — один. Но нужно сохранить только корни своей полупрямой. Центр первой пары равен 4 и при $a\le8$ правее границы $a/7$; центр второй равен $-3$ и при $a\ge-1$ левее этой границы. Подставим общую границу в оба многочлена: $$Q_1(a/7)=\frac{a^2}{49}-\frac{8a}7+a^2-6a$$ $$=\frac{a^2-56a+49a^2-294a}{49}=\frac{50a^2-350a}{49}=\frac{50a(a-7)}{49},$$ $$Q_2(a/7)=\frac{a^2}{49}+\frac{6a}7+a^2-8a$$ $$=\frac{a^2+42a+49a^2-392a}{49}=\frac{50a(a-7)}{49}.$$ Если граничное значение отрицательно ($0<a<7$), граница между корнями: от первой ветви остаётся больший, от второй меньший — всего два. Если значение положительно ($a<0$ или $a>7$), граница вне каждой пары. Поскольку центры расположены на разрешённых сторонах, при наличии двух корней они оба подходят. Если значение нулевое ($a=0$ или $a=7$), граница сама корень обеих ветвей: вместе с двумя другими корнями всего три. Больше общих корней ветвей нет: обе формулы модуля могут совпасть только при $7z-a=0$. Теперь перечислим все интервалы и границы. $$a<-2:0;$$ $$a=-2:1;$$ $$-2<a<-1:2;$$ $$a=-1:3;$$ $$-1<a<0:4;$$ $$a=0:3;$$ $$0<a<7:2;$$ $$a=7:3;$$ $$7<a<8:4;$$ $$a=8:3;$$ $$8<a<9:2;$$ $$a=9:1;$$ $$a>9:0.$$ Например, при $a=-1$ первая ветвь даёт два корня, вторая один двойной: всего три; при $a=8$ роли меняются. Эти граничные точки нельзя определить только по открытым интервалам, поэтому они проверены отдельно. Выбираем число корней 2. Ответ: $$a\in (-2;-1)\cup(0;7)\cup(8;9).$$

Нужно, чтобы нашёлся хотя бы один $x$ на отрезке $[1;2]$, удовлетворяющий сразу трём неравенствам. Сначала получим ограничения, обязательные для любого такого $x$, затем подберём конкретное подходящее значение. Из третьего неравенства: $$x+a>0\ \Longrightarrow\ a>-x.$$ Поскольку $x\le2$, после умножения на $-1$ получаем $-x\ge-2$. Значит: $$a>-x\ge-2\ \Longrightarrow\ a>-2.$$ Из второго неравенства переносим $x^2$ влево: $$6x\ge x^2+a^2\ \Longrightarrow\ a^2\le6x-x^2.$$ На отрезке $[1;2]$ выражение справа не превышает 8. Покажем это без подбора точек: $$8-(6x-x^2)=x^2-6x+8=x(x-2)-4(x-2)=(x-2)(x-4).$$ При $1\le x\le2$ оба множителя неположительны, поэтому их произведение неотрицательно. Следовательно: $$6x-x^2\le8,\qquad a^2\le8\ \Longrightarrow\ -2\sqrt2\le a\le2\sqrt2.$$ С учётом более строгого ограничения $a>-2$ получаем необходимый диапазон: $$-2<a\le2\sqrt2.$$ Теперь докажем, что каждый параметр из этого диапазона подходит. Возьмём $x=2$; это правый конец разрешённого отрезка. Проверим все три исходных неравенства. Первое: из $a>-2$ умножением на 2 и прибавлением 6 получаем: $$2a>-4\ \Longrightarrow\ 2a+6>2,\qquad x=2\le2a+6.$$ Второе: на найденном диапазоне $a^2\le8$. Для отрицательного $a$ это следует из $|a|<2$, а для неотрицательного — из $a\le2\sqrt2$. Подставляем $x=2$: $$6\cdot2=12,\qquad 2^2+a^2=4+a^2\le4+8=12.$$ Третье: $$2+a>2-2=0.$$ Все три неравенства выполнены. При $a=-2$ условие $x+a>0$ потребовало бы $x>2$, поэтому границу исключаем. При $a=2\sqrt2$, $x=2$ второе неравенство становится равенством, что разрешено. Ответ: $(-2;2\sqrt2]$.

Нужно четыре разные пары. Разложим второе уравнение, чтобы понять, на каких прямых лежат решения: $$x^2+y-xy-x=0,$$ $$x(x-1)-y(x-1)=(x-1)(x-y)=0.$$ Поэтому рассматриваем $x=1$ и $y=x$. На каждой прямой первое уравнение не выше второй степени, то есть максимум две точки. Для четырёх нужны по две разные точки и отсутствие общей точки. Подставим $x=1$: $$a+ay^2-(2a-5)+2ay+1=0,$$ $$ay^2+2ay-a+6=0,$$ $$a(y^2+2y+1)-2a+6=0,\qquad a(y+1)^2=2a-6.$$ При $a=0$ получается $0=-6$, решений на этой прямой нет. При $a e0$ делим на $a$: $$(y+1)^2=2-\frac6a.$$ Две разные точки получаются при строго положительной правой части: $$2-\frac6a=\frac{2(a-3)}a>0.$$ Числитель и знаменатель одного знака при $a<0$ или $a>3$. При нуле справа корень был бы только один. На второй прямой подставляем $y=x$: $$ax^2+ax^2-(2a-5)x+2ax+1=0,$$ $$2ax^2+5x+1=0.$$ При ненулевом $a$ нужны два разных действительных корня: $$D=5^2-4\cdot2a\cdot1=25-8a>0\ \Longrightarrow\ a<\frac{25}8.$$ Совместно получаем $a<0$ или $3<a<25/8$. Прямые $x=1$ и $y=x$ имеют одну общую точку $(1;1)$. Проверим её в первом уравнении: $$a+a-(2a-5)+2a+1=2a+6.$$ $$2a+6=0\ \Longrightarrow\ a=-3.$$ При $a=-3$ одна из четырёх точек считается дважды: различных решений три. При остальных найденных параметрах пары точек не пересекаются. Ответ: $(-\infty;-3)\cup(-3;0)\cup(3;25/8)$.

Нужно ровно две разные точки. Корень в первом уравнении существует при $2x+y+6\ge0$. Произведение равно нулю, когда либо корень равен нулю, либо первый множитель равен нулю. Поэтому получаем всю граничную прямую и часть окружности: $$y=-2x-6;\qquad x^2+y^2+4x=0,\quad2x+y+6\ge0.$$ Выделяем квадрат: $$x^2+4x+y^2=(x+2)^2+y^2-4,\qquad(x+2)^2+y^2=4.$$ Это окружность с центром $(-2;0)$ и радиусом 2, но сохраняем только её часть в указанной полуплоскости. Общие точки с границей получим подстановкой $y=-2x-6$: $$x^2+(-2x-6)^2+4x=0\ \Longleftrightarrow 5x^2+28x+36=0.$$ Вычислим корни: $$D=28^2-4\cdot5\cdot36=784-720=64,\qquad x=\frac{-28\pm8}{10}.$$ Получаем $x=-2$ и $x=-18/5$, соответственно $y=-2$ и $y=6/5$. Только в этих двух точках круговая и граничная части могут совпасть. Вторая прямая имеет вид $y=a(x-2)$. Пересечение с границей: $$a(x-2)=-2x-6\ \Longleftrightarrow (a+2)x=2a-6.$$ При $a e-2$ есть одна граничная точка $x=L=(2a-6)/(a+2)$. При $a=-2$ прямые параллельны: равенство превратилось бы в $0=-10$, пересечений нет. Подставим прямую в окружность: $$x^2+a^2(x-2)^2+4x=0,$$ $$g(x)=(1+a^2)x^2+(4-4a^2)x+4a^2=0.$$ Старший коэффициент $1+a^2$ всегда положителен. Вычисляем дискриминант: $$D=(4-4a^2)^2-4(1+a^2)\cdot4a^2$$ $$D=16(1-2a^2+a^4)-16(a^2+a^4)=16(1-3a^2).$$ Поэтому при $|a|>1/\sqrt3$ круговых точек нет, остаётся одна граничная (при $a=-2$ и её нет). Эти параметры не подходят. Далее $|a|\le1/\sqrt3$, поэтому $a+2>0$. Полуплоскость после подстановки: $$(a+2)x-2a+6\ge0\ \Longleftrightarrow\ x\ge L.$$ Сравним центр пары корней с границей: $$m=-\frac{4-4a^2}{2(1+a^2)}=\frac{2(a^2-1)}{1+a^2},$$ $$m-L=\frac{2(a^2-1)(a+2)-(2a-6)(1+a^2)}{(1+a^2)(a+2)}$$ $$=\frac{10a^2-4a+2}{(1+a^2)(a+2)}=\frac{10(a-1/5)^2+8/5}{(1+a^2)(a+2)}>0.$$ Значит, центр всегда на разрешённой стороне. Теперь вычислим многочлен на границе: $$g(L)=\frac{(1+a^2)(2a-6)^2+(4-4a^2)(2a-6)(a+2)+4a^2(a+2)^2}{(a+2)^2}$$ $$g(L)=\frac{112a^2-32a-12}{(a+2)^2}=\frac{4(28a^2-8a-3)}{(a+2)^2}.$$ Разложим числитель группировкой: $$28a^2-8a-3=28a^2+6a-14a-3=2a(14a+3)-(14a+3)=(2a-1)(14a+3).$$ Значение отрицательно при $-3/14<a<1/2$. В этом случае граница между двумя корнями, поэтому одна круговая точка разрешена, а вторая нет. Вместе с граничной точкой ровно два решения. На концах $a=-3/14,1/2$ один корень совпадает с границей, другой внутри; различных точек $2+1-1=2$. Эти границы лежат строго между $\pm1/\sqrt3$. В остальных промежутках при положительном дискриминанте $g(L)>0$. Граница вне корней и левее их центра: обе круговые точки разрешены и отличаются от граничной. Всего три. При $a=\pm1/\sqrt3$ дискриминант нулевой: круговая точка одна и имеет $x=m>L$, то есть не совпадает с граничной. Всего две. Ответ: $\{-1/\sqrt3;1/\sqrt3\}\cup[-3/14;1/2]$.

Нужно найти параметры, при которых получается ровно два различных числа $x$. Для этого сначала разложим многочлен на множители, затем выпишем возможные корни каждого множителя. После этого отдельно учтём, когда корни существуют и когда совпадают. Переносим всё в левую часть и приводим подобные слагаемые. Исходное уравнение равносильно: $$a^{2} x^{2} - a^{2} x - a x^{4} + a x^{3} + a x - a - x^{3} + x^{2}=0.$$ Сначала проверим постоянного кандидата $x=1$. Подстановка в многочлен даёт нуль при любом $a$. По теореме Безу можно вынести множитель $x - 1$. Чтобы показать само деление, последовательно вычитаем произведения делителя на очередной член частного. $$(a^{2} x^{2} - a^{2} x - a x^{4} + a x^{3} + a x - a - x^{3} + x^{2})-(- a x^{3})(x - 1)=a^{2} x^{2} - a^{2} x + a x - a - x^{3} + x^{2}.$$ $$(a^{2} x^{2} - a^{2} x + a x - a - x^{3} + x^{2})-(- x^{2})(x - 1)=a^{2} x^{2} - a^{2} x + a x - a.$$ $$(a^{2} x^{2} - a^{2} x + a x - a)-(a^{2} x)(x - 1)=a x - a.$$ $$(a x - a)-(a)(x - 1)=0.$$ Остаток равен нулю. Полученное частное: $$a^{2} x^{2} - a^{2} x - a x^{4} + a x^{3} + a x - a - x^{3} + x^{2}=(x - 1)(a^{2} x - a x^{3} + a - x^{2}).$$ В оставшемся выражении сгруппируем слагаемые так, чтобы в обеих группах получилась одна и та же скобка. Раскрытие двух произведений ниже даёт именно предыдущее частное: $$a^{2} x - a x^{3} + a - x^{2}=(- a x)(- a + x^{2})+(-1)(- a + x^{2}),$$ Выносим общую скобку: $$a^{2} x - a x^{3} + a - x^{2}=(-1)(a x + 1)(- a + x^{2}).$$ Уравнение полностью разложено: $$- \left(- a + x^{2}\right) \left(x - 1\right) \left(a x + 1\right)=0.$$ Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю. Кратность корня нам не нужна: одно и то же число при совпадении считаем один раз. Множитель 1: $$x - 1=0,$$ Переносим свободное слагаемое, затем делим на коэффициент при $x$: $$1x=1,$$ $$x=1.$$ Множитель 2: $$a x + 1=0,$$ Переносим свободное слагаемое, затем делим на коэффициент при $x$: $$ax=-1,$$ $$x=- \frac{1}{a}.$$ При $a=0$ коэффициент при $x$ равен нулю. Сам множитель тогда равен $1$, поэтому этот множитель не даёт корней. Множитель 3 — квадратное уравнение: $$- a + x^{2}=0.$$ Коэффициенты и дискриминант: $$A=1,\quad B=0,\quad C=- a,$$ $$D=(0)^2-4(1)(- a)=4 a.$$ При $D<0$ действительных корней нет; при $D=0$ один корень, при $D>0$ два. Подстановка в формулу корней даёт: $$x=\frac{-(0)\pm\sqrt{4 a}}{2(1)},$$ $$x=- \sqrt{a}\quad\text{или}\quad x=\sqrt{a}.$$ Проверим совпадение кандидата $x=1$ с корнем множителя $a x + 1$. Подставляем его в этот множитель: $$a + 1=0.$$ В области, где кандидат определён, знаменатель ненулевой. Поэтому нужно решить уравнение для числителя: $$a + 1=a + 1=0.$$ Его действительные решения по параметру: $a=-1$. Проверим совпадение кандидата $x=1$ с корнем множителя $- a + x^{2}$. Подставляем его в этот множитель: $$1 - a=0.$$ В области, где кандидат определён, знаменатель ненулевой. Поэтому нужно решить уравнение для числителя: $$1 - a=1 - a=0.$$ Его действительные решения по параметру: $a=1$. Проверим совпадение кандидата $x=- \frac{1}{a}$ с корнем множителя $- a + x^{2}$. Подставляем его в этот множитель: $$- \frac{\left(a - 1\right) \left(a^{2} + a + 1\right)}{a^{2}}=0.$$ В области, где кандидат определён, знаменатель ненулевой. Поэтому нужно решить уравнение для числителя: $$1 - a^{3}=- \left(a - 1\right) \left(a^{2} + a + 1\right)=0.$$ Его действительные решения по параметру: $a=1$. Это все значения, при которых может измениться число различных действительных корней: дискриминант становится нулём, линейный множитель перестаёт зависеть от $x$ или два кандидата совпадают. Между соседними такими значениями ни одно из событий не происходит. Поэтому на каждом открытом промежутке число корней постоянно. Разберём все промежутки и все граничные значения отдельно. $$a\in(-\infty;-1): \quad N=1+1+0=2.$$ Здесь слагаемые — количества действительных корней множителей в порядке их перечисления. Совпадений внутри промежутка нет, поскольку все параметры совпадения уже вынесены в границы. На границе подставляем параметр в множители и объединяем полученные корни: $$a=-1:\quad \left(x - 1\right)^{2} \left(x^{2} + 1\right)=0,$$ $$x\in\{1\},\quad N=1.$$ $$a\in(-1;0): \quad N=1+1+0=2.$$ Здесь слагаемые — количества действительных корней множителей в порядке их перечисления. Совпадений внутри промежутка нет, поскольку все параметры совпадения уже вынесены в границы. На границе подставляем параметр в множители и объединяем полученные корни: $$a=0:\quad - x^{2} \left(x - 1\right)=0,$$ $$x\in\{0,1\},\quad N=2.$$ $$a\in(0;1): \quad N=1+1+2=4.$$ Здесь слагаемые — количества действительных корней множителей в порядке их перечисления. Совпадений внутри промежутка нет, поскольку все параметры совпадения уже вынесены в границы. На границе подставляем параметр в множители и объединяем полученные корни: $$a=1:\quad - \left(x - 1\right)^{2} \left(x + 1\right)^{2}=0,$$ $$x\in\{-1,1\},\quad N=2.$$ $$a\in(1;+\infty): \quad N=1+1+2=4.$$ Здесь слагаемые — количества действительных корней множителей в порядке их перечисления. Совпадений внутри промежутка нет, поскольку все параметры совпадения уже вынесены в границы. Выбираем только строки, где число различных корней равно двум, и объединяем найденные параметры. Ответ: $$a\in \left(-\infty, -1\right) \cup \left(-1, 0\right] \cup \left\{1\right\}.$$