ФИПИ 3E3293 — Уравнения с параметром

Нужно посчитать нули произведения, одновременно сохранив область определения логарифма и корня. Начнём с ограничений, а затем получим двух кандидатов. Логарифм требует положительного аргумента. На заданном отрезке это означает: $$4x-1>0,\quad4x>1,\quad x>\frac14,\qquad x\le3.$$ В подкоренном выражении выделяем квадраты. Проверяем раскрытие скобок: $$(x-3)^2-(a-3)^2=(x^2-6x+9)-(a^2-6a+9)$$ $$(x-3)^2-(a-3)^2=x^2-6x+6a-a^2.$$ Обозначим $b=|a-3|\ge0$. Условие корня: $$(x-3)^2\ge b^2.$$ Так как $x\le3$, разность $3-x$ неотрицательна. Поэтому сравнение квадратов равносильно сравнению неотрицательных величин: $$3-x\ge b,\quad x\le3-b.$$ Общая область определения на отрезке: $$\frac14<x\le3-b.$$ Она непуста только при $3-b>1/4$. Вычитаем $1/4$ и переносим $b$: $$b<3-\frac14=\frac{11}{4}.$$ Первый множитель равен нулю, когда его аргумент равен 1: $$\ln(4x-1)=0,\quad4x-1=1,\quad4x=2,\quad x_1=\frac12.$$ Этот кандидат допустим тогда и только тогда, когда он не правее верхней границы области: $$\frac12\le3-b,\quad b\le3-\frac12=\frac52.$$ Второй множитель равен нулю, когда подкоренное выражение равно нулю: $$(3-x)^2=b^2,\quad3-x=b,\quad x_2=3-b.$$ Он всегда находится на правой границе области определения, если та непуста. При $0\le b<5/2$ имеем $x_2>1/2$: оба кандидата допустимы и различны, значит, корней два. При $b=5/2$ они совпадают в $1/2$, и корень один. При $5/2<b<11/4$ кандидат $1/2$ уже не входит в область, но $x_2$ остаётся: тоже один корень. При $b\ge11/4$ область пуста. Получаем условие и возвращаемся к исходному параметру: $$\frac52\le b<\frac{11}{4},\qquad\frac52\le|a-3|<\frac{11}{4}.$$ Справа от 3 модуль равен $a-3$. Прибавляем 3 к границам: $$\frac52\le a-3<\frac{11}{4},\qquad\frac{11}{2}\le a<\frac{23}{4}.$$ Слева от 3 модуль равен $3-a$. Вычитание из 3 меняет порядок границ: $$\frac52\le3-a<\frac{11}{4},\qquad\frac14<a\le\frac12.$$ Ответ: $$a\in(\frac14;\frac12]\cup[\frac{11}{2};\frac{23}{4}).$$