ФИПИ 421A63 — Уравнения с параметром

Нужно ровно четыре различных корня. Модуль неотрицателен, поэтому правая часть тоже должна быть неотрицательной: $$2x+2a\ge0\ \Longleftrightarrow\ x\ge -a.$$ На этой полупрямой равенство $|U|=V$ при $V\ge0$ равносильно $U=V$ или $U=-V$. Отдельных дополнительных условий на знак $U$ не требуется: выбранное равенство само определяет его знак. Получаем: $$x^2+a^2-6x-4a=2x+2a\ \Longleftrightarrow\ Q_1(x)=x^2-8x+a^2-6a=0,$$ $$x^2+a^2-6x-4a=-(2x+2a)\ \Longleftrightarrow\ Q_2(x)=x^2-4x+a^2-2a=0.$$ Выделим полные квадраты, добавляя к $x^2-8x$ число 16, а к $x^2-4x$ число 4: $$(x-4)^2=16-(a^2-6a)=25-(a-3)^2,$$ $$(x-2)^2=4-(a^2-2a)=5-(a-1)^2.$$ Первое уравнение имеет два корня при положительной правой части, один при нуле и ни одного при отрицательной. То же верно для второго. Неотрицательность правых частей даёт соответственно: $$a\in[-2;8]\quad\text{и}\quad a\in[1-\sqrt5;1+\sqrt5].$$ Внутри этих диапазонов центры корней 4 и 2 лежат правее разрешённой границы $x=-a$. Чтобы узнать, какие корни попали вправо от неё, подставим границу в оба трёхчлена: $$Q_1(-a)=(-a)^2-8(-a)+a^2-6a=2a^2+2a=2a(a+1),$$ $$Q_2(-a)=(-a)^2-4(-a)+a^2-2a=2a^2+2a=2a(a+1).$$ Почему эта проверка считает корни? Квадратный трёхчлен со старшим коэффициентом $+1$ отрицателен между двумя корнями и положителен вне них. Если значение на границе отрицательно, граница между корнями: подходит только больший. Если положительно и центр пары правее границы, оба корня правее: подходят оба. Если значение равно нулю, один корень стоит на разрешённой границе, второй правее: оба подходят. При нулевой правой части уравнения в квадратах корень один, и он также справа от границы. При $a<-1$ или $a>0$ граничное значение положительно; при $-1<a<0$ отрицательно; при $a=-1,0$ равно нулю. Корни разных ветвей могут совпасть только там, где одновременно $U=V$ и $U=-V$. Тогда $2V=0$, то есть $x=-a$. Значит, совпадения бывают только при нулевом граничном значении. В этих двух случаях каждая ветвь даёт по два корня, но граничный общий, поэтому всего $2+2-1=3$. Соберём полный подсчёт. Вне диапазона существования соответствующая ветвь даёт ноль; на концах диапазона один корень; внутри — один или два по только что доказанному правилу. Получается: $$a<-2:0;$$ $$a=-2:1;$$ $$-2<a<1-\sqrt5:2;$$ $$a=1-\sqrt5:3;$$ $$1-\sqrt5<a<-1:4;$$ $$a=-1:3;$$ $$-1<a<0:2;$$ $$a=0:3;$$ $$0<a<1+\sqrt5:4;$$ $$a=1+\sqrt5:3;$$ $$1+\sqrt5<a<8:2;$$ $$a=8:1;$$ $$a>8:0.$$ Из перечисленных случаев выбираем только нужное число различных корней. Все границы уже посчитаны отдельно, поэтому ответ: $$a\in (1-\sqrt5;-1)\cup(0;1+\sqrt5).$$