ФИПИ 617476 — Уравнения с параметром

Нужно определить, когда показательное уравнение имеет один корень. Введём $t=2^x$. Такая замена полезна потому, что $4^x=(2^x)^2=t^2$. При всех действительных $x$ получаем $t>0$. И наоборот, каждому положительному $t$ соответствует ровно один $x=\log_{2}t$, поскольку показательная функция с основанием больше 1 строго возрастает. Поэтому достаточно посчитать различные положительные корни уравнения по $t$. Переносим правую часть влево и группируем: $$t^2+(a-6)t-(3|a|+2)t-(a-6)(3|a|+2)=0,$$ $$t(t+a-6)-(3|a|+2)(t+a-6)=0,$$ Выносим общую скобку: $$(t+a-6)(t-3|a|-2)=0.$$ Две ветви дают: $$t_1=6-a,\qquad t_2=3|a|+2.$$ Второй корень всегда положителен: $|a|\ge0$, значит, $3|a|+2\ge2>0$. Первый положителен только при $a<6$. При $a\ge6$ первый равен нулю или отрицателен, поэтому остаётся ровно один допустимый корень. При $a<6$ оба кандидата положительны. Тогда единственность возможна только при их совпадении: $$6-a=3|a|+2,\qquad4-a=3|a|.$$ Раскрываем модуль отдельно по знаку параметра. Если $a\ge0$, то $|a|=a$: $$4-a=3a,\quad4=4a,\quad a=1.$$ Если $a<0$, то $|a|=-a$: $$4-a=-3a,\quad4=-2a,\quad a=-2.$$ Оба значения лежат в рассмотренном диапазоне и дают совпадение положительных кандидатов. Других вариантов одного положительного корня нет. Ответ: $$a\in \{-2;1\}\cup[6;+\infty).$$