ФИПИ 8F4718 — Уравнения с параметром

Нужно найти параметры, при которых получается ровно два различных числа $x$. Для этого сначала разложим многочлен на множители, затем выпишем возможные корни каждого множителя. После этого отдельно учтём, когда корни существуют и когда совпадают. Переносим всё в левую часть и приводим подобные слагаемые. Исходное уравнение равносильно: $$a^{3} x^{2} + a^{3} x - 2 a^{2} x - 2 a^{2} + a x^{4} + a x^{3} - a x^{2} - a x - 2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x + 2=0.$$ Сначала проверим постоянного кандидата $x=-1$. Подстановка в многочлен даёт нуль при любом $a$. По теореме Безу можно вынести множитель $x + 1$. Чтобы показать само деление, последовательно вычитаем произведения делителя на очередной член частного. $$(a^{3} x^{2} + a^{3} x - 2 a^{2} x - 2 a^{2} + a x^{4} + a x^{3} - a x^{2} - a x - 2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x + 2)-(a x^{3})(x + 1)=a^{3} x^{2} + a^{3} x - 2 a^{2} x - 2 a^{2} - a x^{2} - a x - 2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x + 2.$$ $$(a^{3} x^{2} + a^{3} x - 2 a^{2} x - 2 a^{2} - a x^{2} - a x - 2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x + 2)-(- 2 x^{2})(x + 1)=a^{3} x^{2} + a^{3} x - 2 a^{2} x - 2 a^{2} - a x^{2} - a x + 2 x + 2.$$ $$(a^{3} x^{2} + a^{3} x - 2 a^{2} x - 2 a^{2} - a x^{2} - a x + 2 x + 2)-(x \left(a^{3} - a\right))(x + 1)=- 2 a^{2} x - 2 a^{2} + 2 x + 2.$$ $$(- 2 a^{2} x - 2 a^{2} + 2 x + 2)-(2 - 2 a^{2})(x + 1)=0.$$ Остаток равен нулю. Полученное частное: $$a^{3} x^{2} + a^{3} x - 2 a^{2} x - 2 a^{2} + a x^{4} + a x^{3} - a x^{2} - a x - 2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x + 2=(x + 1)(a^{3} x - 2 a^{2} + a x^{3} - a x - 2 x^{2} + 2).$$ В оставшемся выражении сгруппируем слагаемые так, чтобы в обеих группах получилась одна и та же скобка. Раскрытие двух произведений ниже даёт именно предыдущее частное: $$a^{3} x - 2 a^{2} + a x^{3} - a x - 2 x^{2} + 2=(a x)(a^{2} + x^{2} - 1)+(-2)(a^{2} + x^{2} - 1),$$ Выносим общую скобку: $$a^{3} x - 2 a^{2} + a x^{3} - a x - 2 x^{2} + 2=(1)(a x - 2)(a^{2} + x^{2} - 1).$$ Уравнение полностью разложено: $$\left(x + 1\right) \left(a x - 2\right) \left(a^{2} + x^{2} - 1\right)=0.$$ Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю. Кратность корня нам не нужна: одно и то же число при совпадении считаем один раз. Множитель 1: $$x + 1=0,$$ Переносим свободное слагаемое, затем делим на коэффициент при $x$: $$1x=-1,$$ $$x=-1.$$ Множитель 2: $$a x - 2=0,$$ Переносим свободное слагаемое, затем делим на коэффициент при $x$: $$ax=2,$$ $$x=\frac{2}{a}.$$ При $a=0$ коэффициент при $x$ равен нулю. Сам множитель тогда равен $-2$, поэтому этот множитель не даёт корней. Множитель 3 — квадратное уравнение: $$a^{2} + x^{2} - 1=0.$$ Коэффициенты и дискриминант: $$A=1,\quad B=0,\quad C=a^{2} - 1,$$ $$D=(0)^2-4(1)(a^{2} - 1)=- 4 \left(a - 1\right) \left(a + 1\right).$$ При $D<0$ действительных корней нет; при $D=0$ один корень, при $D>0$ два. Подстановка в формулу корней даёт: $$x=\frac{-(0)\pm\sqrt{- 4 \left(a - 1\right) \left(a + 1\right)}}{2(1)},$$ $$x=- \sqrt{1 - a^{2}}\quad\text{или}\quad x=\sqrt{1 - a^{2}}.$$ Проверим совпадение кандидата $x=-1$ с корнем множителя $a x - 2$. Подставляем его в этот множитель: $$- a - 2=0.$$ В области, где кандидат определён, знаменатель ненулевой. Поэтому нужно решить уравнение для числителя: $$- a - 2=- a - 2=0.$$ Его действительные решения по параметру: $a=-2$. Проверим совпадение кандидата $x=-1$ с корнем множителя $a^{2} + x^{2} - 1$. Подставляем его в этот множитель: $$a^{2}=0.$$ В области, где кандидат определён, знаменатель ненулевой. Поэтому нужно решить уравнение для числителя: $$a^{2}=a^{2}=0.$$ Его действительные решения по параметру: $a=0$. Проверим совпадение кандидата $x=\frac{2}{a}$ с корнем множителя $a^{2} + x^{2} - 1$. Подставляем его в этот множитель: $$\frac{a^{4} - a^{2} + 4}{a^{2}}=0.$$ В области, где кандидат определён, знаменатель ненулевой. Поэтому нужно решить уравнение для числителя: $$a^{4} - a^{2} + 4=a^{4} - a^{2} + 4=0.$$ Его действительные решения по параметру: отсутствуют. Это все значения, при которых может измениться число различных действительных корней: дискриминант становится нулём, линейный множитель перестаёт зависеть от $x$ или два кандидата совпадают. Между соседними такими значениями ни одно из событий не происходит. Поэтому на каждом открытом промежутке число корней постоянно. Разберём все промежутки и все граничные значения отдельно. $$a\in(-\infty;-2): \quad N=1+1+0=2.$$ Здесь слагаемые — количества действительных корней множителей в порядке их перечисления. Совпадений внутри промежутка нет, поскольку все параметры совпадения уже вынесены в границы. На границе подставляем параметр в множители и объединяем полученные корни: $$a=-2:\quad - 2 \left(x + 1\right)^{2} \left(x^{2} + 3\right)=0,$$ $$x\in\{-1\},\quad N=1.$$ $$a\in(-2;-1): \quad N=1+1+0=2.$$ Здесь слагаемые — количества действительных корней множителей в порядке их перечисления. Совпадений внутри промежутка нет, поскольку все параметры совпадения уже вынесены в границы. На границе подставляем параметр в множители и объединяем полученные корни: $$a=-1:\quad - x^{2} \left(x + 1\right) \left(x + 2\right)=0,$$ $$x\in\{-2,-1,0\},\quad N=3.$$ $$a\in(-1;0): \quad N=1+1+2=4.$$ Здесь слагаемые — количества действительных корней множителей в порядке их перечисления. Совпадений внутри промежутка нет, поскольку все параметры совпадения уже вынесены в границы. На границе подставляем параметр в множители и объединяем полученные корни: $$a=0:\quad - 2 \left(x - 1\right) \left(x + 1\right)^{2}=0,$$ $$x\in\{-1,1\},\quad N=2.$$ $$a\in(0;1): \quad N=1+1+2=4.$$ Здесь слагаемые — количества действительных корней множителей в порядке их перечисления. Совпадений внутри промежутка нет, поскольку все параметры совпадения уже вынесены в границы. На границе подставляем параметр в множители и объединяем полученные корни: $$a=1:\quad x^{2} \left(x - 2\right) \left(x + 1\right)=0,$$ $$x\in\{-1,0,2\},\quad N=3.$$ $$a\in(1;+\infty): \quad N=1+1+0=2.$$ Здесь слагаемые — количества действительных корней множителей в порядке их перечисления. Совпадений внутри промежутка нет, поскольку все параметры совпадения уже вынесены в границы. Выбираем только строки, где число различных корней равно двум, и объединяем найденные параметры. Ответ: $$a\in \left(-\infty, -2\right) \cup \left(-2, -1\right) \cup \left\{0\right\} \cup \left(1, \infty\right).$$