ФИПИ AcF79c — Уравнения с параметром

Ищем единственный $x$. Обозначим повторяющееся выражение: $$t=3x+|x-a|+|2x+a+1|.$$ Точки смены знака: $p=a$ и $q=-(a+1)/2$. Слева от обеих точек: $$t=3x+(a-x)+(-2x-a-1)=-1.$$ Справа от обеих: $$t=3x+(x-a)+(2x+a+1)=6x+1.$$ Между ними возможны два порядка. Если $p<q$, то $x-a\ge0$, но $2x+a+1\le0$, поэтому: $$t=3x+(x-a)+(-2x-a-1)=2x-2a-1.$$ Если $q<p$, знаки обратные: $$t=3x+(a-x)+(2x+a+1)=4x+2a+1.$$ Таким образом, сначала функция постоянна и равна $-1$, затем непрерывно строго возрастает с коэффициентами 2 или 4 и после второго излома с коэффициентом 6. При совпадении изломов средний участок исчезает. Во всех случаях диапазон $[-1;+\infty)$: уровню $-1$ соответствует бесконечно много $x$, каждому уровню выше $-1$ — ровно один. Уравнение для уровней: $$P(t)=t^2-at+a^2-16=0.$$ Если его корни различны, нужен ровно один корень выше $-1$ и ни одного равного $-1$. Это означает, что $-1$ строго между корнями. У параболы со старшим коэффициентом $+1$ значение между корнями отрицательно. Вычислим: $$P(-1)=1+a+a^2-16=a^2+a-15.$$ Решим неравенство: $$a^2+a-15<0,\qquad D_a=1^2-4\cdot1\cdot(-15)=61,$$ $$a_{1,2}=\frac{-1\pm\sqrt{61}}2.$$ Трёхчлен отрицателен между корнями, поэтому: $$\frac{-1-\sqrt{61}}2<a<\frac{-1+\sqrt{61}}2.$$ Внутри интервала $P(-1)<0$ само гарантирует наличие двух разных действительных корней по $t$ — один ниже $-1$, другой выше. На концах $t=-1$ становится корнем и даёт бесконечно много $x$. Если $P(-1)>0$ и корни различны, они лежат по одну сторону от $-1$: тогда допустимых уровней ноль или два, но не один. Отдельно проверим двойной уровень. Дискриминант по $t$: $$D_t=(-a)^2-4(a^2-16)=a^2-4a^2+64=64-3a^2.$$ При его нуле: $$a=\pm\frac8{\sqrt3},\qquad t=\frac a2.$$ При положительном $a$ уровень $4/\sqrt3>-1$ и даёт один $x$. При отрицательном $a$ уровень $-4/\sqrt3<-1$ недостижим. Добавляем только $8/\sqrt3$. При $D_t<0$ корней нет. Все случаи рассмотрены. Ответ: $\bigl((-1-\sqrt{61})/2;(-1+\sqrt{61})/2\bigr)\cup\{8/\sqrt3\}$.