Найдите все значения $a,$ при каждом из которых уравнение
${(|x-{a}^{2}|+|x+1|)}^{2}-7(|x-{a}^{2}|+|x+1|)+4{a}^{2}+4=0$
имеет ровно два различных корня.
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: $a\in(-\sqrt2;\sqrt2)\cup\{-\frac{\sqrt{33}}4;\frac{\sqrt{33}}4\}$.
Решение
Нужно ровно два разных $x$. Введём $b=a^2\ge0$ и повторяющуюся сумму:
$$u=|x-b|+|x+1|.$$
Это расстояния от $x$ до точек $b$ и $-1$. Раскроем модули, чтобы посчитать число $x$ для каждого $u$:
$$x<-1:\ u=(b-x)+(-x-1)=b-1-2x;$$
$$-1\le x\le b:\ u=(b-x)+(x+1)=b+1;$$
$$x>b:\ u=(x-b)+(x+1)=2x+1-b.$$
Следовательно, $u\ge L=b+1$. При $u=L$ каждый $x$ от $-1$ до $b$ подходит: корней бесконечно много. При $u>L$ на каждой внешней линейной ветви получается по одному $x$, всего два.
После замены уравнение:
$$P(u)=u^2-7u+4b+4=0.$$
Значит, нужен ровно один различный корень $u>L$ и ни одного $u=L$. Сначала найдём дискриминант:
$$D=(-7)^2-4(4b+4)=49-16b-16=33-16b.$$
Действительные уровни существуют только при $b\le33/16$. Подставим границу $L=b+1$:
$$P(L)=(b+1)^2-7(b+1)+4b+4$$
$$=b^2+2b+1-7b-7+4b+4=b^2-b-2$$
$$=b(b-2)+(b-2)=(b-2)(b+1).$$
При $0\le b<2$ это значение отрицательно. Граница строго между двумя действительными уровнями, поэтому только один уровень больше $L$: ровно два $x$. При $b=2$ уровень $L$ является корнем и даёт бесконечно много $x$ — исключаем.
При $2<b<33/16$ дискриминант положителен, а $P(L)>0$. Граница находится вне двух корней. Чтобы определить, с какой стороны, сравним её с их серединой $7/2$:
$$L=b+1<\frac{33}{16}+1=\frac{49}{16}<\frac{56}{16}=\frac72.$$
Значит, $L$ левее обоих корней, оба уровня допустимы: $2+2=4$ корня $x$. При $b=33/16$ дискриминант нулевой, один двойной уровень $u=7/2>L$ даёт ровно два $x$. При $b>33/16$ действительных уровней нет.
Нужны $0\le b<2$ либо $b=33/16$. Возвращаемся к $a$:
$$a^2<2\ \Longleftrightarrow\ -\sqrt2<a<\sqrt2,$$
$$a^2=\frac{33}{16}\ \Longleftrightarrow\ a=\pm\frac{\sqrt{33}}4.$$
Ответ: $(-\sqrt2;\sqrt2)\cup\{-\sqrt{33}/4;\sqrt{33}/4\}$.