ФИПИ F7e0eA — Уравнения с параметром

Нужно найти параметры, при которых получается ровно два различных числа $x$. Для этого сначала разложим многочлен на множители, затем выпишем возможные корни каждого множителя. После этого отдельно учтём, когда корни существуют и когда совпадают. Переносим всё в левую часть и приводим подобные слагаемые. Исходное уравнение равносильно: $$a x^{2} - 2 a x - 3 a + x^{4} - 4 x^{3} + 8 x + 3=0.$$ Сначала проверим постоянного кандидата $x=3$. Подстановка в многочлен даёт нуль при любом $a$. По теореме Безу можно вынести множитель $x - 3$. Чтобы показать само деление, последовательно вычитаем произведения делителя на очередной член частного. $$(a x^{2} - 2 a x - 3 a + x^{4} - 4 x^{3} + 8 x + 3)-(x^{3})(x - 3)=a x^{2} - 2 a x - 3 a - x^{3} + 8 x + 3.$$ $$(a x^{2} - 2 a x - 3 a - x^{3} + 8 x + 3)-(- x^{2})(x - 3)=a x^{2} - 2 a x - 3 a - 3 x^{2} + 8 x + 3.$$ $$(a x^{2} - 2 a x - 3 a - 3 x^{2} + 8 x + 3)-(x \left(a - 3\right))(x - 3)=a x - 3 a - x + 3.$$ $$(a x - 3 a - x + 3)-(a - 1)(x - 3)=0.$$ Остаток равен нулю. Полученное частное: $$a x^{2} - 2 a x - 3 a + x^{4} - 4 x^{3} + 8 x + 3=(x - 3)(a x + a + x^{3} - x^{2} - 3 x - 1).$$ Сначала проверим постоянного кандидата $x=-1$. Подстановка в многочлен даёт нуль при любом $a$. По теореме Безу можно вынести множитель $x + 1$. Чтобы показать само деление, последовательно вычитаем произведения делителя на очередной член частного. $$(a x + a + x^{3} - x^{2} - 3 x - 1)-(x^{2})(x + 1)=a x + a - 2 x^{2} - 3 x - 1.$$ $$(a x + a - 2 x^{2} - 3 x - 1)-(- 2 x)(x + 1)=a x + a - x - 1.$$ $$(a x + a - x - 1)-(a - 1)(x + 1)=0.$$ Остаток равен нулю. Полученное частное: $$a x + a + x^{3} - x^{2} - 3 x - 1=(x + 1)(a + x^{2} - 2 x - 1).$$ Уравнение полностью разложено: $$\left(x - 3\right) \left(x + 1\right) \left(a + x^{2} - 2 x - 1\right)=0.$$ Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю. Кратность корня нам не нужна: одно и то же число при совпадении считаем один раз. Множитель 1: $$x - 3=0,$$ Переносим свободное слагаемое, затем делим на коэффициент при $x$: $$1x=3,$$ $$x=3.$$ Множитель 2: $$x + 1=0,$$ Переносим свободное слагаемое, затем делим на коэффициент при $x$: $$1x=-1,$$ $$x=-1.$$ Множитель 3 — квадратное уравнение: $$a + x^{2} - 2 x - 1=0.$$ Коэффициенты и дискриминант: $$A=1,\quad B=-2,\quad C=a - 1,$$ $$D=(-2)^2-4(1)(a - 1)=- 4 \left(a - 2\right).$$ При $D<0$ действительных корней нет; при $D=0$ один корень, при $D>0$ два. Подстановка в формулу корней даёт: $$x=\frac{-(-2)\pm\sqrt{- 4 \left(a - 2\right)}}{2(1)},$$ $$x=1 - \sqrt{2 - a}\quad\text{или}\quad x=\sqrt{2 - a} + 1.$$ Проверим совпадение кандидата $x=3$ с корнем множителя $a + x^{2} - 2 x - 1$. Подставляем его в этот множитель: $$a + 2=0.$$ В области, где кандидат определён, знаменатель ненулевой. Поэтому нужно решить уравнение для числителя: $$a + 2=a + 2=0.$$ Его действительные решения по параметру: $a=-2$. Проверим совпадение кандидата $x=-1$ с корнем множителя $a + x^{2} - 2 x - 1$. Подставляем его в этот множитель: $$a + 2=0.$$ В области, где кандидат определён, знаменатель ненулевой. Поэтому нужно решить уравнение для числителя: $$a + 2=a + 2=0.$$ Его действительные решения по параметру: $a=-2$. Это все значения, при которых может измениться число различных действительных корней: дискриминант становится нулём, линейный множитель перестаёт зависеть от $x$ или два кандидата совпадают. Между соседними такими значениями ни одно из событий не происходит. Поэтому на каждом открытом промежутке число корней постоянно. Разберём все промежутки и все граничные значения отдельно. $$a\in(-\infty;-2): \quad N=1+1+2=4.$$ Здесь слагаемые — количества действительных корней множителей в порядке их перечисления. Совпадений внутри промежутка нет, поскольку все параметры совпадения уже вынесены в границы. На границе подставляем параметр в множители и объединяем полученные корни: $$a=-2:\quad \left(x - 3\right)^{2} \left(x + 1\right)^{2}=0,$$ $$x\in\{-1,3\},\quad N=2.$$ $$a\in(-2;2): \quad N=1+1+2=4.$$ Здесь слагаемые — количества действительных корней множителей в порядке их перечисления. Совпадений внутри промежутка нет, поскольку все параметры совпадения уже вынесены в границы. На границе подставляем параметр в множители и объединяем полученные корни: $$a=2:\quad \left(x - 3\right) \left(x - 1\right)^{2} \left(x + 1\right)=0,$$ $$x\in\{-1,1,3\},\quad N=3.$$ $$a\in(2;+\infty): \quad N=1+1+0=2.$$ Здесь слагаемые — количества действительных корней множителей в порядке их перечисления. Совпадений внутри промежутка нет, поскольку все параметры совпадения уже вынесены в границы. Выбираем только строки, где число различных корней равно двум, и объединяем найденные параметры. Ответ: $$a\in \left\{-2\right\} \cup \left(2, \infty\right).$$