ФИПИ 0106DC — Уравнения с параметром

Ищем параметры, при которых решений либо нет, либо ровно одно. В уравнение входят симметричные модули, поэтому удобно сначала считать не знаки корней, а их расстояния от нуля. Введём неотрицательные числа: $$c=|a-3|\ge0,\qquad t=|x|\ge0.$$ Поясним сумму модулей. Замена знака у $x$ или у $a-3$ лишь меняет два модуля местами, поэтому можно считать оба числа неотрицательными. Если $t\le c$, то: $$|t-c|+|t+c|=(c-t)+(t+c)=2c.$$ Если $t\ge c$, то: $$|t-c|+|t+c|=(t-c)+(t+c)=2t.$$ Следовательно, исходное уравнение равносильно двум случаям: $$\begin{cases}t^4+c^2=2c,&0\le t\le c,\\t^4+c^2=2t,&t\ge c.\end{cases}$$ При $t=0$ получается только $x=0$. Каждое положительное $t$ даёт уже два разных корня $x=t$ и $x=-t$. Поэтому достаточно выяснить, когда положительных решений $t$ нет. Случай $c>2$. В первой области левая часть больше правой: $$t^4+c^2\ge c^2>2c,\qquad c^2-2c=c(c-2)>0.$$ Во второй области $t\ge c>2$, поэтому $t^3>8>2$. Умножаем на положительное $t$: $$t^4>2t,\qquad t^4+c^2>2t.$$ Решений нет; такие параметры подходят. Случай $c=2$. В первой области: $$t^4+4=4\ \Longrightarrow\ t^4=0\ \Longrightarrow\ t=0.$$ Во второй области $t\ge2$ имеем $t^3\ge8>2$, так что $t^4+4>2t$. Получен только $x=0$, и этот случай тоже подходит. Случай $0<c<2$. Рассмотрим непрерывную функцию: $$F(t)=t^4+c^2-2\max(t,c).$$ Она непрерывна, потому что обе формулы совпадают при $t=c$. На концах отрезка $[0;2]$ получаем: $$F(0)=c^2-2c=c(c-2)<0,$$ $$F(2)=16+c^2-4=12+c^2>0.$$ При непрерывном переходе от отрицательного значения к положительному функция обязательно принимает ноль между ними. Поэтому существует $t$ строго между 0 и 2, а ему отвечают два разных $x$. Параметр не подходит. Остался $c=0$. Уравнение упрощается: $$t^4=2t,\qquad t^4-2t=t(t^3-2)=0.$$ Отсюда $t=0$ или $t=\sqrt[3]2>0$, то есть три корня $x=0,\sqrt[3]2,-\sqrt[3]2$. Это не подходит. Итак, необходимо и достаточно $c\ge2$. Возвращаемся к параметру: $$|a-3|\ge2\ \Longleftrightarrow\ a-3\le-2\ \text{или}\ a-3\ge2,$$ $$a\le1\ \text{или}\ a\ge5.$$ На границах $a=1,5$ получен ровно один корень; за границами корней нет. Ответ: $(-\infty;1]\cup[5;+\infty)$.