ФИПИ 162563 — Уравнения с параметром

Нужно получить ровно два различных корня дробного уравнения. Дробь равна нулю только при двух одновременных условиях: её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Поэтому сначала найдём все корни числителя, затем проверим каждый в знаменателе. Приравниваем числитель к нулю и прибавляем $a^2$ к обеим частям: $$4x^2-a^2=0,$$ $$4x^2=a^2.$$ Левая часть — квадрат произведения. Одинаковые квадраты получаются у равных или противоположных чисел: $$(2x)^2=a^2,$$ $$2x=a\quad\text{или}\quad 2x=-a.$$ Делим обе ветви на 2: $$x_1=\frac a{2},\qquad x_2=-\frac a{2}.$$ Сначала проверяем, когда два кандидата совпадают: $$\frac a{2}=-\frac a{2},\qquad a=-a,\qquad2a=0,\qquad a=0.$$ При $a=0$ есть лишь один кандидат $x=0$. Знаменатель в нём равен $9 e0$, то есть корень один, а нужны два. Поэтому $a=0$ исключаем. Теперь проверяем допустимость обоих кандидатов. Обозначим знаменатель через $D(x)$. По формуле квадрата суммы: $$D(x)=x^2+6x+9-a^2=(x+3)^2-a^2.$$ Подставляем $x=\frac a{2}$. Отрицательное число в квадрате даёт тот же квадрат, а линейный член сохраняет знак: $$D\left(\frac a{2}\right)=\frac{a^2}{4}+\frac{6a}{2}+9-a^2.$$ Приводим слагаемые к общему знаменателю 4: $$D\left(\frac a{2}\right)=\frac{a^2+12a+36-4a^2}{4}$$ $$D\left(\frac a{2}\right)=\frac{-3a^2+12a+36}{4}.$$ Кандидат запрещён, когда эта дробь равна нулю. Её знаменатель ненулевой; решаем квадратное уравнение для числителя: $$-3a^2+12a+36=0.$$ Дискриминант и его квадратный корень: $$\Delta=(12)^2-4\cdot(-3)\cdot36=144+432=576,$$ $$\sqrt\Delta=24.$$ Подставляем в формулу корней и вычисляем оба значения: $$a=\frac{-(12)\pm24}{2\cdot(-3)},$$ $$a_1=\frac{12}{-6}=-2,\qquad a_2=\frac{-36}{-6}=6.$$ Эти значения исключаем, потому что один из двух найденных кандидатов обнуляет знаменатель. Подставляем $x=-\frac a{2}$. Отрицательное число в квадрате даёт тот же квадрат, а линейный член сохраняет знак: $$D\left(-\frac a{2}\right)=\frac{a^2}{4}-\frac{6a}{2}+9-a^2.$$ Приводим слагаемые к общему знаменателю 4: $$D\left(-\frac a{2}\right)=\frac{a^2-12a+36-4a^2}{4}$$ $$D\left(-\frac a{2}\right)=\frac{-3a^2-12a+36}{4}.$$ Кандидат запрещён, когда эта дробь равна нулю. Её знаменатель ненулевой; решаем квадратное уравнение для числителя: $$-3a^2-12a+36=0.$$ Дискриминант и его квадратный корень: $$\Delta=(-12)^2-4\cdot(-3)\cdot36=144+432=576,$$ $$\sqrt\Delta=24.$$ Подставляем в формулу корней и вычисляем оба значения: $$a=\frac{-(-12)\pm24}{2\cdot(-3)},$$ $$a_1=\frac{36}{-6}=2,\qquad a_2=\frac{-12}{-6}=-6.$$ Эти значения исключаем, потому что один из двух найденных кандидатов обнуляет знаменатель. Объединяем все запреты. Если параметр не входит в этот список, кандидаты различны и знаменатель в обоих ненулевой. Поэтому оба являются корнями исходного уравнения. Других корней нет, поскольку числитель квадратный и уже решён полностью. Ответ: $$a\in\mathbb R\setminus\{-6,-2,0,2,6\}.$$