ФИПИ 3D498A — Уравнения с параметром

Нужно ровно два различных корня. Модуль относится к выражению $x+1$, поэтому обозначим его через $t$: $$t=x+1,\qquad x=t-1.$$ Замена взаимно однозначна: каждому $t$ отвечает ровно один $x$. Подставляем: $$t|t|=2(t-1)-a=2t-2-a,$$ $$t|t|-2t=-a-2.$$ Обозначим правую часть через $b=-a-2$. Найдём, сколько раз левая часть принимает значение $b$. При $t\ge0$ раскрываем $|t|=t$ и выделяем квадрат: $$t|t|-2t=t^2-2t=t^2-2t+1-1=(t-1)^2-1.$$ На $[0;1]$ квадрат $(t-1)^2$ уменьшается от 1 до 0, а после 1 растёт без ограничения. Поэтому ветвь идёт от 0 до минимума $-1$, затем вверх. При $t<0$ имеем $|t|=-t$: $$t|t|-2t=-t^2-2t=-(t^2+2t+1)+1=1-(t+1)^2.$$ Эта ветвь возрастает до максимума 1 при $t=-1$, затем убывает к 0. Сам $t=0$ учитываем только в первой ветви. Подсчитаем корни по уровням. Если $b<-1$, положительная ветвь недостижима, а отрицательная даёт один корень слева от $-1$. Если $b>1$, отрицательная ветвь недостижима, а положительная даёт один корень справа от 1. При $-1<b<0$ положительная ветвь пересекает уровень дважды, отрицательная — один раз. При $0<b<1$ положительная даёт один корень, отрицательная два: в обоих случаях всего три. При $b=0$ проверим вычислением: $$t\ge0:\ t^2-2t=t(t-2)=0\ \Longrightarrow\ t=0,2;$$ $$t<0:\ -t^2-2t=-t(t+2)=0\ \Longrightarrow\ t=-2.$$ Снова три корня. Остались граничные уровни $b=-1$ и $b=1$. При $b=-1$: $$t\ge0:\ (t-1)^2-1=-1\ \Longrightarrow\ t=1;$$ $$t<0:\ 1-(t+1)^2=-1\ \Longrightarrow\ (t+1)^2=2\ \Longrightarrow\ t=-1\pm\sqrt2.$$ Из последних двух значений только $-1-\sqrt2$ отрицательно; $-1+\sqrt2>0$ не относится к своей ветви. Всего два. При $b=1$: $$t<0:\ 1-(t+1)^2=1\ \Longrightarrow\ t=-1;$$ $$t\ge0:\ (t-1)^2-1=1\ \Longrightarrow\ t=1\pm\sqrt2.$$ Только $1+\sqrt2$ неотрицательно: снова два корня. Все уровни рассмотрены, поэтому нужны только $b=\pm1$. Возвращаемся к $a$: $$-a-2=-1\ \Longrightarrow\ a=-1;\qquad -a-2=1\ \Longrightarrow\ a=-3.$$ Ответ: $a\in\{-3;-1\}$.