ФИПИ 577658 — Уравнения с параметром

Ищем параметры, при которых корней меньше четырёх. После раскрытия модуля на каждой полуоси получается квадратное уравнение, поэтому корней в сумме не больше четырёх. Найдём, когда четыре корня действительно существуют, и возьмём остальные параметры. При $x\ge0$ имеем $|x|=x$. Складываем $-3x+9x=6x$: $$a^2+ax-2x^2-6a+6x=0.$$ Разложим выражение группировкой, разделив $ax$ на $2ax-ax$: $$a^2+2ax-ax-2x^2-6a+6x$$ $$=a(a+2x)-x(a+2x)-6(a-x)$$ $$=(a-x)(a+2x)-6(a-x)=(a-x)(a+2x-6).$$ Поэтому один из множителей равен нулю: $$a-x=0\ \Longrightarrow\ x=a\quad(a\ge0),$$ $$a+2x-6=0\ \Longrightarrow\ 2x=6-a\ \Longrightarrow\ x=3-\frac a2\quad(a\le6).$$ Условия в скобках получены из требования $x\ge0$. При $x<0$ подставим $|x|=-x$ и сложим $-3x-9x=-12x$: $$a^2+ax-2x^2-6a-12x=0.$$ Снова группируем: $$a^2-ax+2ax-2x^2-6a-12x$$ $$=a(a-x)+2x(a-x)-6(a+2x)$$ $$=(a+2x)(a-x)-6(a+2x)=(a+2x)(a-x-6).$$ $$a+2x=0\ \Longrightarrow\ x=-\frac a2\quad(a>0),$$ $$a-x-6=0\ \Longrightarrow\ x=a-6\quad(a<6).$$ Строгие условия нужны потому, что эту ветвь рассматриваем только при $x<0$. Все четыре кандидата одновременно допустимы только при $0<a<6$. Тогда первые два положительны, последние два отрицательны; совпадение разных знаков невозможно. Проверим совпадения внутри каждой пары: $$a=3-\frac a2\ \Longleftrightarrow\ 2a=6-a\ \Longleftrightarrow\ 3a=6\ \Longleftrightarrow\ a=2,$$ $$-\frac a2=a-6\ \Longleftrightarrow\ -a=2a-12\ \Longleftrightarrow\ 3a=12\ \Longleftrightarrow\ a=4.$$ Таким образом, четыре разных корня получаются при $0<a<6$, кроме $a=2,4$. Во всех остальных случаях корней меньше четырёх. Для полноты проверим границы: при $a=0$ кандидаты $0,3,-6$; при $a=6$ кандидаты $6,0,-3$. В обоих случаях корней три. При $a<0$ остаются только $3-a/2>0$ и $a-6<0$; при $a>6$ — только $a>0$ и $-a/2<0$. Ответ: $(-\infty;0]\cup\{2;4\}\cup[6;+\infty)$.