ФИПИ 1cce7c — Уравнения с параметром

Нужно ровно два разных $x$. Повторяющееся выражение обозначим через $t=f_a(x)$: $$f_a(x)=4x+|x-a|-|3x+1|,\qquad t^2-(a+1)t+1=0.$$ Сначала выясним, сколько $x$ даёт каждый уровень $t$. Модули меняют формулы при $x=a$ и $x=-1/3$. Их порядок зависит от $a$. Если $a<-1/3$, последовательно раскрываем оба модуля: $$x<a:\ f_a=4x+(a-x)-(-3x-1)=6x+a+1;$$ $$a\le x<-1/3:\ f_a=4x+(x-a)-(-3x-1)=8x-a+1;$$ $$x\ge-1/3:\ f_a=4x+(x-a)-(3x+1)=2x-a-1.$$ Все три коэффициента при $x$ положительны: 6, 8, 2. Формулы совпадают на стыках, функция непрерывна и строго возрастает от минус бесконечности до плюс бесконечности. Поэтому каждому действительному уровню отвечает ровно один $x$. Если $a\ge-1/3$, порядок точек другой: $$x<-1/3:\ f_a=6x+a+1;$$ $$-1/3\le x\le a:\ f_a=4x+(a-x)-(3x+1)=a-1;$$ $$x>a:\ f_a=2x-a-1.$$ Левая часть принимает все уровни ниже $a-1$ ровно один раз, правая — все уровни выше $a-1$ ровно один раз. Если $a>-1/3$, самому уровню $a-1$ соответствует целый отрезок, то есть бесконечно много $x$. При $a=-1/3$ отрезок сжимается в одну точку; этот параметр проверим дискриминантом. Теперь решаем вопрос о двух уровнях $t$. Дискриминант: $$D=(-(a+1))^2-4=(a+1)^2-4$$ $$D=a^2+2a+1-4=a^2+2a-3=(a-1)(a+3).$$ При $-3<a<1$ он отрицателен: уровней нет, в том числе при $a=-1/3$. При $a=-3$ или $a=1$ уровень один: $$t=\frac{a+1}2:\quad a=-3\Rightarrow t=-1;\qquad a=1\Rightarrow t=1.$$ При $a=-3$ функция строго возрастает, поэтому $x$ один. При $a=1$ постоянный уровень равен $a-1=0$, не 1, поэтому $x$ снова один. Границы не подходят. Два различных уровня существуют при $a<-3$ или $a>1$. Для $a<-3$ каждый даёт один $x$, значит, все эти параметры подходят. Для $a>1$ надо исключить попадание уровня на постоянный участок. Подставим $t=a-1$ в квадратный многочлен: $$(a-1)^2-(a+1)(a-1)+1$$ $$=a^2-2a+1-(a^2-1)+1=3-2a.$$ Уровень становится корнем при: $$3-2a=0\ \Longrightarrow\ a=\frac32.$$ Тогда $x$ бесконечно много, поэтому параметр запрещён. При всех остальных $a>1$ оба различных уровня имеют по одному прообразу. Ответ: $(-\infty;-3)\cup(1;3/2)\cup(3/2;+\infty)$.