ФИПИ 211B61 — Уравнения с параметром

Нужно получить одно различное решение на заданном отрезке. Из-за тангенса сначала исключаем точки, где он не определён: $\tan x=\sin x/\cos x$, поэтому требуется $\cos x\ne0$. Обозначим $u=2x+a$. Разность квадратов раскладывается как $(A-B)(A+B)$. Края отрезка $-\pi/2$ и $\pi/2$ запрещены тангенсом. Реальная область поиска: $$-\frac\pi2<x<\frac\pi2.$$ Берём $A=u+1+\tan x$, $B=u-1-\tan x$. Их сумма и разность: $$A-B=2+2\tan x=2(1+\tan x),\qquad A+B=2u.$$ Уравнение после разложения: $$4u(1+\tan x)=0,$$ $$(2x+a)(1+\tan x)=0.$$ Один множитель даёт постоянный корень: $$1+\tan x=0,\quad\tan x=-1,\quad x=-\frac\pi4.$$ На открытом промежутке тангенс строго возрастает, поэтому других решений этой ветви нет. Корень всегда допустим. Другой множитель даёт кандидата, зависящего от параметра: $$2x+a=0,\quad2x=-a,\quad x=-\frac a2.$$ Он попадает в область поиска, когда: $$-\frac\pi2<-\frac a2<\frac\pi2.$$ Умножаем на −2. При умножении неравенств на отрицательное число оба знака меняются: $$\pi>a>-\pi,\quad -\pi<a<\pi.$$ Поэтому при $a\le-\pi$ или $a\ge\pi$ второго корня нет: остаётся один постоянный корень. Внутри этого диапазона второй кандидат обычно добавляет второй корень. Единственное исключение — совпадение: $$-\frac a2=-\frac\pi4,\quad a=\frac\pi2.$$ Края параметрического промежутка включаем: при них переменный кандидат попадает в запрещённый край отрезка. Ответ: $$a\in(-\infty;-\pi]\cup\{\frac\pi2\}\cup[\pi;+\infty).$$