ФИПИ 11D603 — Уравнения с параметром

Требуется ровно два разных корня. Выражение $x+4/x$ повторяется, поэтому заменим его одной буквой. Сначала область определения: $x e0$. Введём: $$t=x+\frac4x.$$ Чтобы понять, сколько $x$ даёт каждое $t$, умножим это равенство на ненулевой $x$ и перенесём всё влево: $$tx=x^2+4,\qquad x^2-tx+4=0.$$ Дискриминант равен: $$D_x=(-t)^2-4\cdot1\cdot4=t^2-16.$$ Если $|t|<4$, дискриминант отрицателен и корней $x$ нет. Если $t=\pm4$, корень один. Если $|t|>4$, корня два. Ни один из них не равен нулю: при $x=0$ левая часть квадратного уравнения равна 4. После замены исходное уравнение имеет вид: $$at^2+2t-25a+10=0.$$ Разложение получим группировкой: $$at^2-25a+2t+10=a(t^2-25)+2(t+5)$$ $$=a(t-5)(t+5)+2(t+5)=(t+5)(a(t-5)+2).$$ Первый множитель всегда даёт $t=-5$. Найдём соответствующие $x$: $$x^2+5x+4=0,\qquad x^2+5x+4=x(x+1)+4(x+1)=(x+1)(x+4).$$ Уже получены два корня $x=-1,-4$. Поэтому второй множитель не должен добавлять новых $x$. При $a=0$ второй множитель равен 2 и никогда не обращается в ноль. Остаются ровно два корня: $a=0$ подходит. При $a e0$: $$a(t-5)+2=0\ \Longrightarrow\ a(t-5)=-2\ \Longrightarrow\ t=5-\frac2a.$$ Этот уровень не добавляет корней либо когда он лежит строго между $-4$ и 4, либо когда совпадает с уже учтённым $-5$. Уровни $\pm4$ добавляют по одному новому корню и не подходят. Решим первое условие: $$-4<5-\frac2a<4\ \Longleftrightarrow\ -9<-\frac2a<-1\ \Longleftrightarrow\ 1<\frac2a<9.$$ Из положительности $2/a$ следует $a>0$. Теперь можем умножать на $a$ без смены знаков: $$a<2<9a\ \Longleftrightarrow\ a<2\ \text{и}\ a>\frac29.$$ Для совпадения уровней: $$5-\frac2a=-5\ \Longleftrightarrow\ \frac2a=10\ \Longleftrightarrow\ 2=10a\ \Longleftrightarrow\ a=\frac15.$$ Разным уровням $t$ не может соответствовать один и тот же $x$, поскольку выражение $x+4/x$ при фиксированном $x$ имеет одно значение. Поэтому никаких скрытых совпадений больше нет. Ответ: $\{0;1/5\}\cup(2/9;2)$.