Найдите все значения $a,$ при каждом из которых уравнение
${(|x-a-1|+|x-a+1|)}^{2}+a(|x-a-1|+|x-a+1|)+{a}^{2}-16=0$
имеет ровно два различных корня.
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: $a\in(-1-\sqrt{13};-1+\sqrt{13})\cup\{-\frac8{\sqrt3}\}$.
Решение
Требуются два разных корня. Обозначим повторяющуюся сумму модулей через $u$:
$$u=|x-a-1|+|x-a+1|.$$
Точки смены знака $a-1$ и $a+1$. Для $x<a-1$:
$$u=(a+1-x)+(a-1-x)=2a-2x.$$
Для $a-1\le x\le a+1$:
$$u=(a+1-x)+(x-a+1)=2.$$
Для $x>a+1$:
$$u=(x-a-1)+(x-a+1)=2x-2a.$$
Значит, $u\ge2$. Уровень 2 даёт целый отрезок корней. Каждый $u>2$ даёт ровно два разных корня:
$$x=a-\frac u2\quad\text{и}\quad x=a+\frac u2.$$
Поэтому ищем ровно один различный уровень $u>2$, не допуская корня $u=2$ в уравнении:
$$P(u)=u^2+au+a^2-16=0.$$
При двух различных действительных корнях ровно один выше 2 тогда и только тогда, когда 2 строго между ними. Для параболы со старшим коэффициентом $+1$ это равносильно $P(2)<0$. Подставляем:
$$P(2)=4+2a+a^2-16=a^2+2a-12.$$
Выделим полный квадрат:
$$a^2+2a-12=(a+1)^2-13.$$
Поэтому:
$$(a+1)^2<13\ \Longleftrightarrow\ -\sqrt{13}<a+1<\sqrt{13}$$
$$-1-\sqrt{13}<a<-1+\sqrt{13}.$$
Внутри интервала один уровень ниже 2, другой выше 2; последний даёт два $x$. На концах уровень 2 является корнем, поэтому решений бесконечно много. Вне интервала при различных уровнях оба находятся по одну сторону от 2: корней $x$ либо нет, либо четыре.
Остался возможный двойной уровень. Дискриминант:
$$D=a^2-4(a^2-16)=64-3a^2.$$
При $D=0$:
$$a=\pm\frac8{\sqrt3},\qquad u=-\frac a2.$$
Для отрицательного параметра $u=4/\sqrt3>2$, потому что $16/3>4$. Он даёт ровно два $x$. Для положительного параметра уровень отрицателен и невозможен. При отрицательном дискриминанте уровней нет. Ответ: $(-1-\sqrt{13};-1+\sqrt{13})\cup\{-8/\sqrt3\}$.