Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение
$\sqrt{x+2a}\cdot \ln (x-a)=(x-1)\cdot \ln (x-a)$
имеет ровно один корень на отрезке $[0; 1]$.
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: $a\in\{-\frac12\}\cup[-\frac13;0]$.
Решение
Нужно найти параметры с одним корнем на $[0;1]$. Перенесём правую часть влево и вынесем общий логарифм. Но сначала запишем ограничения:
$$x+2a\ge0,\qquad x-a>0,\qquad0\le x\le1.$$
Уравнение принимает вид:
$$\bigl(\sqrt{x+2a}-(x-1)\bigr)\ln(x-a)=0.$$
Первая ветвь — равенство корня и $x-1$:
$$\sqrt{x+2a}=x-1.$$
На $[0;1]$ левая часть неотрицательна, а правая неположительна. Равенство возможно только тогда, когда обе равны нулю. Поэтому:
$$x-1=0,\quad x=1,\quad x+2a=0,\quad1+2a=0,\quad a=-\frac12.$$
В этой точке аргумент логарифма $1-(-1/2)=3/2>0$, поэтому корень действительно подходит.
Вторая ветвь — нулевой логарифм. Его аргумент должен быть равен 1:
$$\ln(x-a)=0,\quad x-a=1,\quad x=a+1.$$
Попадание в отрезок даёт:
$$0\le a+1\le1,\qquad-1\le a\le0.$$
Проверяем квадратный корень в этом кандидате:
$$x+2a=a+1+2a=3a+1\ge0,\quad a\ge-\frac13.$$
Значит, второй кандидат допустим точно при $-1/3\le a\le0$. Аргумент логарифма в нём равен 1, поэтому с логарифмом дополнительных ограничений нет.
Первая ветвь существует только при $a=-1/2$, а этот параметр не входит в диапазон второй ветви. Следовательно, на каждом из найденных параметров есть ровно один корень, и других ветвей нулевого произведения нет.
Ответ:
$$a\in\{-\frac12\}\cup[-\frac13;0].$$