Найдите все значения $a$, для каждого из которых уравнение ${25}^{x}-(a+6){5}^{x}=(5+3|a|){5}^{x}-(a+6)(3|a|+5)$ имеет единственное решение.
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: $a\in(-\infty;-6]\cup\{-\frac14;\frac12\}$.
Решение
Нужно определить, когда показательное уравнение имеет один корень. Введём $t=5^x$. Такая замена полезна потому, что $25^x=(5^x)^2=t^2$.
При всех действительных $x$ получаем $t>0$. И наоборот, каждому положительному $t$ соответствует ровно один $x=\log_{5}t$, поскольку показательная функция с основанием больше 1 строго возрастает. Поэтому достаточно посчитать различные положительные корни уравнения по $t$.
Переносим всё влево и группируем:
$$t^2-(a+6)t-(3|a|+5)t+(a+6)(3|a|+5)=0,$$
$$t(t-a-6)-(3|a|+5)(t-a-6)=0,$$
Выносим общую скобку:
$$(t-a-6)(t-3|a|-5)=0.$$
Две ветви дают:
$$t_1=a+6,\qquad t_2=3|a|+5.$$
Второй кандидат всегда положителен, поскольку он не меньше 5. Первый положителен при $a>-6$. Поэтому при $a\le-6$ первый кандидат недопустим и остаётся единственный корень.
При $a>-6$ оба кандидата положительны. Они должны совпасть:
$$a+6=3|a|+5,\qquad a+1=3|a|.$$
Если $a\ge0$, раскрываем модуль как $a$:
$$a+1=3a,\quad1=2a,\quad a=\frac12.$$
Если $a<0$, раскрываем модуль как $-a$:
$$a+1=-3a,\quad1=-4a,\quad a=-\frac14.$$
Оба значения допустимы и обеспечивают совпадение положительных кандидатов.
Ответ:
$$a\in (-\infty;-6]\cup\{-\frac14;\frac12\}.$$