Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение
$\sqrt{4x-1}\cdot \ln ({x}^{2}-2x+2-{a}^{2})=0$
имеет ровно один корень на отрезке $[0; 1]$.
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: $a\in(-\frac54;-\frac34]\cup[\frac34;\frac54)$.
Решение
Нужно найти параметры, при которых произведение равно нулю ровно в одной точке заданного отрезка. У произведения два множителя, поэтому проверим нуль каждого. Но оба множителя должны быть определены даже тогда, когда один из них равен нулю.
Квадратный корень существует при неотрицательном подкоренном выражении:
$$4x-1\ge0,\quad 4x\ge1,\quad x\ge0{,}25.$$
С учётом отрезка получаем:
$$0{,}25\le x\le1.$$
Аргумент логарифма должен быть строго положительным. Выделим квадрат:
Половина коэффициента $-2$ равна $-1$, её квадрат1. Выделяем этот квадрат:
$$x^2-2x+2-a^2=x^2-2x+1+1-a^2=(x-1)^2+1-a^2.$$
Необходимое ограничение:
$$(x-1)^2+1-a^2>0.$$
Первая ветвь: квадратный корень равен нулю. Решаем линейное уравнение:
$$4x-1=0,\qquad x_1=0{,}25.$$
Он лежит на отрезке. Чтобы логарифм в нём был определён, подставляем $x_1$ в его аргумент:
$$(0{,}25-1)^2+1-a^2=0{,}5625+1-a^2=1{,}5625-a^2>0.$$
Переносим квадрат параметра и извлекаем корень:
$$a^2<1{,}5625,\qquad |a|<1{,}25.$$
Вторая ветвь: логарифм равен нулю. Натуральный логарифм обращается в нуль только при аргументе 1:
$$(x-1)^2+1-a^2=1,$$
Вычитаем единицу и переносим $a^2$:
$$(x-1)^2=a^2.$$
На рассматриваемом отрезке $x\le1$, поэтому 1−$x$ неотрицательно. Равенство квадратов принимает вид:
$$1-x=|a|,\qquad x_2=1-|a|.$$
Это единственный кандидат этой ветви на отрезке: другой знак дал бы $x>1$, кроме совпадающего случая $a=0$. Аргумент логарифма в кандидате равен 1, значит, он определён.
Чтобы кандидат допускался корнем, нужно $x_2\ge0{,}25$:
$$1-|a|\ge0{,}25,\qquad |a|\le1-0{,}25=0{,}75.$$
Считаем различные корни по величине $|a|$. Если $|a|<0{,}75$, оба кандидата допустимы и различны, потому что $x_2>x_1$. Корней два.
Если $|a|=0{,}75$, кандидаты совпадают:
$$x_2=1-0{,}75=0{,}25=x_1.$$
Если $0{,}75<|a|<1{,}25$, второй кандидат выходит за допустимый промежуток, а первый всё ещё допускается логарифмом. В обоих последних случаях корень один.
При $|a|\ge1{,}25$ первый кандидат запрещён логарифмом, а второй уже лежит левее допустимой границы. Корней нет. Итак:
$$0{,}75\le|a|<1{,}25.$$
Для положительных параметров это промежуток от 0,75 до 1,25 без правого конца. Для отрицательных порядок границ меняется. Ответ:
$$a\in(-1{,}25;-0{,}75]\cup[0{,}75;1{,}25).$$