ФИПИ 37FD10 — Системы и совокупности уравнений с параметром

Нужны ровно две точки пересечения. Сначала поймём, какое множество задаёт первое уравнение. Область определения корня: $$x-y+3\ge0\ \Longleftrightarrow\ y\le x+3.$$ Произведение равно нулю либо при нулевом корне $y=x+3$, либо при нулевом первом множителе $y=x^2-5x+3$. Для параболы сохраним ограничение: $$x^2-5x+3\le x+3\ \Longleftrightarrow\ x^2-6x\le0$$ $$x(x-6)\le0\ \Longleftrightarrow 0\le x\le6.$$ Итак, есть вся прямая $y=x+3$ и дуга параболы на $[0;6]$. Их общие точки — концы дуги $(0;3)$ и $(6;9)$. Вторая прямая $y=a(x+1)$. С полной прямой она пересекается, если: $$a(x+1)=x+3\ \Longleftrightarrow\ (a-1)x=3-a.$$ При $a e1$ есть ровно одна точка. При $a=1$ получилось бы $0=2$, то есть прямые параллельны и общих точек нет. Теперь считаем пересечения с дугой. На $[0;6]$ число $x+1>0$, поэтому можно выразить $a$: $$a=\frac{x^2-5x+3}{x+1}.$$ Разделим числитель: $(x+1)(x-6)=x^2-5x-6$, поэтому: $$x^2-5x+3=(x+1)(x-6)+9,$$ $$a=g(x)=x-6+\frac9{x+1}.$$ Чтобы понять, сколько раз горизонталь $a$ пересечёт график $g$, найдём промежутки убывания и возрастания. Для этого вычислим производную. Производная $x$ равна 1, постоянного числа $-6$ — 0. Для последней дроби обозначим $u=x+1$. Тогда $u'=1$, а по правилу производной обратной величины $(1/u)'=-u'/u^2$: $$\left(\frac9{x+1}\right)'=-\frac{9\cdot1}{(x+1)^2}=-\frac9{(x+1)^2}.$$ Складываем производные и приводим к общему знаменателю: $$g'(x)=1-\frac9{(x+1)^2}=\frac{(x+1)^2-9}{(x+1)^2}.$$ Числитель — разность квадратов $(x+1)^2-3^2$. По формуле $v^2-w^2=(v-w)(v+w)$: $$(x+1)^2-9=(x+1-3)(x+1+3)=(x-2)(x+4).$$ Поэтому $$g'(x)=\frac{(x-2)(x+4)}{(x+1)^2}.$$ На рассматриваемом отрезке $0\le x\le6$ знаменатель положителен, как и $x+4$. Знак производной совпадает со знаком $x-2$: при $x<2$ он отрицательный, при $x>2$ положительный. Отрицательная производная означает убывание функции, положительная — возрастание. Значит, $g$ строго убывает на $[0;2]$ и строго возрастает на $[2;6]$; при $x=2$ достигается минимум. Вычислим значения в концах этих двух участков с явной подстановкой: $$g(0)=0-6+\frac9{0+1}=-6+9=3,$$ $$g(2)=2-6+\frac9{2+1}=-4+\frac93=-4+3=-1,$$ $$g(6)=6-6+\frac9{6+1}=0+\frac97=\frac97.$$ На первом участке график проходит все уровни от3 до−1 ровно по одному разу, на втором — все уровни от−1 до$9/7$ тоже ровно по одному разу. Уровень−1 достигается на общей границе$x=2$, поэтому его надо считать один раз. При $a<-1$ или $a>3$ дуга не даёт точек, полная прямая одну: всего одна. При $a=-1$ дуга даёт одну точку при $x=2$, полная прямая ещё одну: всего две. При $-1<a<9/7$ дуга даёт по одной точке на каждой стороне минимума, всего две. Полная прямая обычно добавляет третью, кроме $a=1$: при нём она не пересекается вообще, и остаются две точки. Отдельно проверим уровни, при которых пересечение с дугой может совпасть с точкой на полной прямой. Эти два множества имеют только два общих конца, поэтому подставим их во второе уравнение: $$(x;y)=(0;3):\qquad3=a(0+1),\qquad a=3;$$ $$(x;y)=(6;9):\qquad9=a(6+1),\qquad7a=9,\qquad a=9/7.$$ На границе $a=9/7$ дуга даёт две точки: на убывающей ветви одну внутреннюю, на возрастающей — конец $(6;9)$. Полная прямая даёт ещё одну точку, но это тот же конец. Число различных решений равно $2+1-1=2$. При $9/7<a<3$ возрастающая ветвь уже не достигает уровня$a$, а убывающая пересекает его один раз внутри дуги. Пересечение с полной прямой тоже существует и не совпадает с концами, поскольку$a$ не равно3 и$9/7$. Всего две точки. При $a=3$ дуга даёт только конец $(0;3)$; он же является единственным пересечением с полной прямой. Всего одна различная точка, поэтому этот параметр исключаем. Других совпадений нет, потому что дуга и полная прямая имеют только два уже рассмотренных общих конца. Ответ: $\{-1;1\}\cup[9/7;3)$.