Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений
$\{\begin{matrix}a{x}^{2}+a{y}^{2}-(2a-5)x+2ay+1=0, \\ {x}^{2}+y=xy+x\end{matrix}$
имеет ровно четыре различных решения.
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: $a\in(-\infty;-3)\cup(-3;0)\cup(3;\frac{25}{8})$.
Решение
Нужно четыре разные пары. Разложим второе уравнение, чтобы понять, на каких прямых лежат решения:
$$x^2+y-xy-x=0,$$
$$x(x-1)-y(x-1)=(x-1)(x-y)=0.$$
Поэтому рассматриваем $x=1$ и $y=x$. На каждой прямой первое уравнение не выше второй степени, то есть максимум две точки. Для четырёх нужны по две разные точки и отсутствие общей точки.
Подставим $x=1$:
$$a+ay^2-(2a-5)+2ay+1=0,$$
$$ay^2+2ay-a+6=0,$$
$$a(y^2+2y+1)-2a+6=0,\qquad a(y+1)^2=2a-6.$$
При $a=0$ получается $0=-6$, решений на этой прямой нет. При $a
e0$ делим на $a$:
$$(y+1)^2=2-\frac6a.$$
Две разные точки получаются при строго положительной правой части:
$$2-\frac6a=\frac{2(a-3)}a>0.$$
Числитель и знаменатель одного знака при $a<0$ или $a>3$. При нуле справа корень был бы только один.
На второй прямой подставляем $y=x$:
$$ax^2+ax^2-(2a-5)x+2ax+1=0,$$
$$2ax^2+5x+1=0.$$
При ненулевом $a$ нужны два разных действительных корня:
$$D=5^2-4\cdot2a\cdot1=25-8a>0\ \Longrightarrow\ a<\frac{25}8.$$
Совместно получаем $a<0$ или $3<a<25/8$.
Прямые $x=1$ и $y=x$ имеют одну общую точку $(1;1)$. Проверим её в первом уравнении:
$$a+a-(2a-5)+2a+1=2a+6.$$
$$2a+6=0\ \Longrightarrow\ a=-3.$$
При $a=-3$ одна из четырёх точек считается дважды: различных решений три. При остальных найденных параметрах пары точек не пересекаются. Ответ: $(-\infty;-3)\cup(-3;0)\cup(3;25/8)$.