Системы и совокупности уравнений с параметром — задание №18 ЕГЭ по математике

Нужно получить ровно две разные пары $(x;y)$. Второе уравнение выражает $y$ через $x$, поэтому каждому допустимому $x$ отвечает одна пара. Подставим $y=3x+a$ в первое уравнение: $$(x^2-5x-(3x+a)+3)\sqrt{x-(3x+a)+3}=0,$$ Раскроем скобки и соберём слагаемые: $$(x^2-8x-a+3)\sqrt{-2x-a+3}=0.$$ Корень определён при неотрицательном подкоренном выражении: $$-2x-a+3\ge0\ \Longleftrightarrow\ -2x\ge a-3\ \Longleftrightarrow\ x\le\frac{3-a}{2}=L.$$ При делении на отрицательное число знак неравенства поменялся. В допустимой области произведение равно нулю, если нулевой хотя бы один множитель. Сам квадратный корень равен нулю при $x=L$; это один корень при любом $a$. Теперь найдём корни другого множителя. Для выделения полного квадрата прибавим и вычтем 16: $$x^2-8x-a+3=(x^2-8x+16)-a-13=(x-4)^2-a-13.$$ $$(x-4)^2=a+13.$$ Если $a<-13$, правая часть отрицательна и дополнительных корней нет: остаётся только $L$. Если $a\ge-13$, введём $u=\sqrt{a+13}\ge0$. Тогда: $$a=u^2-13,\quad x_-=4-u,\quad x_+=4+u,$$ $$L=\frac{3-(u^2-13)}2=\frac{16-u^2}2=8-\frac{u^2}2.$$ Кандидат учитывается только при $x\le L$. Для меньшего корня: $$4-u\le8-\frac{u^2}2\ \Longleftrightarrow\ 8-2u\le16-u^2$$ $$u^2-2u-8\le0,\qquad u^2-2u-8=u(u-4)+2(u-4)=(u-4)(u+2).$$ Поскольку $u+2>0$, деление на него сохраняет знак: $u\le4$. Для большего корня: $$4+u\le8-\frac{u^2}2\ \Longleftrightarrow\ u^2+2u-8\le0,$$ $$u^2+2u-8=u(u+4)-2(u+4)=(u-2)(u+4).$$ Здесь $u+4>0$, поэтому требуется $u\le2$. Равенство в этих проверках означает, что кандидат совпал с уже учтённым $L$. Считаем различные корни. При $u=0$ оба $x_\pm=4$, а $L=8$: два корня. При $0<u<2$ оба кандидата допустимы и отличаются от $L$: три корня. При $u=2$ имеем $x_-=2$, $x_+=L=6$: два корня. При $2<u<4$ только $x_-$ дополняет $L$: два корня. При $u=4$ имеем $x_-=L=0$, а $x_+=8$ недопустим: один. При $u>4$ оба кандидата недопустимы: один. Значит, подходит $u=0$ либо $2\le u<4$. Возвращаемся к $a$: $$u=0\ \Longrightarrow\ a=-13;$$ $$2\le\sqrt{a+13}<4\ \Longleftrightarrow\ 4\le a+13<16\ \Longleftrightarrow\ -9\le a<3.$$ Ответ: $\{-13\}\cup[-9;3)$. Каждому найденному $x$ соответствует единственное $y=3x+a$, поэтому число пар совпадает с числом посчитанных корней.

Нужно четыре разных решения системы, то есть четыре разные пары $(x;y)$. Второе уравнение позволяет разбить поиск на две прямые. Перенесём $x^2$ влево и разложим разность квадратов: $$y^2-x^2=(y-x)(y+x)=0.$$ Значит, $y=x$ либо $y=-x$. Подставим каждое выражение в первое уравнение. Для $y=x$: $$x=(a+2)x^2+2ax+a-2,$$ $$(a+2)x^2+(2a-1)x+a-2=0.$$ Для $y=-x$: $$-x=(a+2)x^2+2ax+a-2,$$ $$(a+2)x^2+(2a+1)x+a-2=0.$$ Каждое квадратное уравнение даёт максимум две точки. Чтобы всего было четыре, обе пары должны существовать и быть различными. Если $a=-2$, квадратный член исчезает: обе ветви линейные и дают не более двух точек всего. Исключаем $a=-2$. При $a e-2$ два разных действительных корня существуют ровно при положительном дискриминанте. Вычисляем первый: $$D_1=(2a-1)^2-4(a+2)(a-2)$$ $$D_1=4a^2-4a+1-4(a^2-4)=4a^2-4a+1-4a^2+16=17-4a.$$ Аналогично второй: $$D_2=(2a+1)^2-4(a+2)(a-2)$$ $$D_2=4a^2+4a+1-4a^2+16=17+4a.$$ Оба должны быть положительны: $$17-4a>0\ \Longrightarrow\ a<\frac{17}4,\qquad17+4a>0\ \Longrightarrow\ a>-\frac{17}4.$$ Остаётся проверить, не считают ли две ветви одну точку дважды. Общая точка прямых удовлетворяет одновременно $y=x$ и $y=-x$. Тогда $x=-x$, то есть $2x=0$ и $x=y=0$. Подставим эту точку в первое уравнение: $$0=(a+2)\cdot0^2+2a\cdot0+a-2=a-2\ \Longrightarrow\ a=2.$$ При $a=2$ две пары имеют ровно одну общую точку, поэтому различных решений три. Исключаем и этот параметр. Других совпадений быть не может, поскольку прямые пересекаются только в начале координат. При найденных остальных параметрах дискриминанты положительны, квадратный коэффициент ненулевой, пары не пересекаются: получается ровно четыре решения. Ответ: $(-17/4;-2)\cup(-2;2)\cup(2;17/4)$.

Нужны ровно две точки пересечения. Сначала поймём, какое множество задаёт первое уравнение. Область определения корня: $$x-y+3\ge0\ \Longleftrightarrow\ y\le x+3.$$ Произведение равно нулю либо при нулевом корне $y=x+3$, либо при нулевом первом множителе $y=x^2-5x+3$. Для параболы сохраним ограничение: $$x^2-5x+3\le x+3\ \Longleftrightarrow\ x^2-6x\le0$$ $$x(x-6)\le0\ \Longleftrightarrow 0\le x\le6.$$ Итак, есть вся прямая $y=x+3$ и дуга параболы на $[0;6]$. Их общие точки — концы дуги $(0;3)$ и $(6;9)$. Вторая прямая $y=a(x+1)$. С полной прямой она пересекается, если: $$a(x+1)=x+3\ \Longleftrightarrow\ (a-1)x=3-a.$$ При $a e1$ есть ровно одна точка. При $a=1$ получилось бы $0=2$, то есть прямые параллельны и общих точек нет. Теперь считаем пересечения с дугой. На $[0;6]$ число $x+1>0$, поэтому можно выразить $a$: $$a=\frac{x^2-5x+3}{x+1}.$$ Разделим числитель: $(x+1)(x-6)=x^2-5x-6$, поэтому: $$x^2-5x+3=(x+1)(x-6)+9,$$ $$a=g(x)=x-6+\frac9{x+1}.$$ Чтобы понять, сколько раз горизонталь $a$ пересечёт график $g$, найдём промежутки убывания и возрастания. Для этого вычислим производную. Производная $x$ равна 1, постоянного числа $-6$ — 0. Для последней дроби обозначим $u=x+1$. Тогда $u'=1$, а по правилу производной обратной величины $(1/u)'=-u'/u^2$: $$\left(\frac9{x+1}\right)'=-\frac{9\cdot1}{(x+1)^2}=-\frac9{(x+1)^2}.$$ Складываем производные и приводим к общему знаменателю: $$g'(x)=1-\frac9{(x+1)^2}=\frac{(x+1)^2-9}{(x+1)^2}.$$ Числитель — разность квадратов $(x+1)^2-3^2$. По формуле $v^2-w^2=(v-w)(v+w)$: $$(x+1)^2-9=(x+1-3)(x+1+3)=(x-2)(x+4).$$ Поэтому $$g'(x)=\frac{(x-2)(x+4)}{(x+1)^2}.$$ На рассматриваемом отрезке $0\le x\le6$ знаменатель положителен, как и $x+4$. Знак производной совпадает со знаком $x-2$: при $x<2$ он отрицательный, при $x>2$ положительный. Отрицательная производная означает убывание функции, положительная — возрастание. Значит, $g$ строго убывает на $[0;2]$ и строго возрастает на $[2;6]$; при $x=2$ достигается минимум. Вычислим значения в концах этих двух участков с явной подстановкой: $$g(0)=0-6+\frac9{0+1}=-6+9=3,$$ $$g(2)=2-6+\frac9{2+1}=-4+\frac93=-4+3=-1,$$ $$g(6)=6-6+\frac9{6+1}=0+\frac97=\frac97.$$ На первом участке график проходит все уровни от3 до−1 ровно по одному разу, на втором — все уровни от−1 до$9/7$ тоже ровно по одному разу. Уровень−1 достигается на общей границе$x=2$, поэтому его надо считать один раз. При $a<-1$ или $a>3$ дуга не даёт точек, полная прямая одну: всего одна. При $a=-1$ дуга даёт одну точку при $x=2$, полная прямая ещё одну: всего две. При $-1<a<9/7$ дуга даёт по одной точке на каждой стороне минимума, всего две. Полная прямая обычно добавляет третью, кроме $a=1$: при нём она не пересекается вообще, и остаются две точки. Отдельно проверим уровни, при которых пересечение с дугой может совпасть с точкой на полной прямой. Эти два множества имеют только два общих конца, поэтому подставим их во второе уравнение: $$(x;y)=(0;3):\qquad3=a(0+1),\qquad a=3;$$ $$(x;y)=(6;9):\qquad9=a(6+1),\qquad7a=9,\qquad a=9/7.$$ На границе $a=9/7$ дуга даёт две точки: на убывающей ветви одну внутреннюю, на возрастающей — конец $(6;9)$. Полная прямая даёт ещё одну точку, но это тот же конец. Число различных решений равно $2+1-1=2$. При $9/7<a<3$ возрастающая ветвь уже не достигает уровня$a$, а убывающая пересекает его один раз внутри дуги. Пересечение с полной прямой тоже существует и не совпадает с концами, поскольку$a$ не равно3 и$9/7$. Всего две точки. При $a=3$ дуга даёт только конец $(0;3)$; он же является единственным пересечением с полной прямой. Всего одна различная точка, поэтому этот параметр исключаем. Других совпадений нет, потому что дуга и полная прямая имеют только два уже рассмотренных общих конца. Ответ: $\{-1;1\}\cup[9/7;3)$.

Нужно четыре разные пары. Разложим второе уравнение, чтобы понять, на каких прямых лежат решения: $$x^2+y-xy-x=0,$$ $$x(x-1)-y(x-1)=(x-1)(x-y)=0.$$ Поэтому рассматриваем $x=1$ и $y=x$. На каждой прямой первое уравнение не выше второй степени, то есть максимум две точки. Для четырёх нужны по две разные точки и отсутствие общей точки. Подставим $x=1$: $$a+ay^2-(2a-5)+2ay+1=0,$$ $$ay^2+2ay-a+6=0,$$ $$a(y^2+2y+1)-2a+6=0,\qquad a(y+1)^2=2a-6.$$ При $a=0$ получается $0=-6$, решений на этой прямой нет. При $a e0$ делим на $a$: $$(y+1)^2=2-\frac6a.$$ Две разные точки получаются при строго положительной правой части: $$2-\frac6a=\frac{2(a-3)}a>0.$$ Числитель и знаменатель одного знака при $a<0$ или $a>3$. При нуле справа корень был бы только один. На второй прямой подставляем $y=x$: $$ax^2+ax^2-(2a-5)x+2ax+1=0,$$ $$2ax^2+5x+1=0.$$ При ненулевом $a$ нужны два разных действительных корня: $$D=5^2-4\cdot2a\cdot1=25-8a>0\ \Longrightarrow\ a<\frac{25}8.$$ Совместно получаем $a<0$ или $3<a<25/8$. Прямые $x=1$ и $y=x$ имеют одну общую точку $(1;1)$. Проверим её в первом уравнении: $$a+a-(2a-5)+2a+1=2a+6.$$ $$2a+6=0\ \Longrightarrow\ a=-3.$$ При $a=-3$ одна из четырёх точек считается дважды: различных решений три. При остальных найденных параметрах пары точек не пересекаются. Ответ: $(-\infty;-3)\cup(-3;0)\cup(3;25/8)$.

Нужно ровно две разные точки. Корень в первом уравнении существует при $2x+y+6\ge0$. Произведение равно нулю, когда либо корень равен нулю, либо первый множитель равен нулю. Поэтому получаем всю граничную прямую и часть окружности: $$y=-2x-6;\qquad x^2+y^2+4x=0,\quad2x+y+6\ge0.$$ Выделяем квадрат: $$x^2+4x+y^2=(x+2)^2+y^2-4,\qquad(x+2)^2+y^2=4.$$ Это окружность с центром $(-2;0)$ и радиусом 2, но сохраняем только её часть в указанной полуплоскости. Общие точки с границей получим подстановкой $y=-2x-6$: $$x^2+(-2x-6)^2+4x=0\ \Longleftrightarrow 5x^2+28x+36=0.$$ Вычислим корни: $$D=28^2-4\cdot5\cdot36=784-720=64,\qquad x=\frac{-28\pm8}{10}.$$ Получаем $x=-2$ и $x=-18/5$, соответственно $y=-2$ и $y=6/5$. Только в этих двух точках круговая и граничная части могут совпасть. Вторая прямая имеет вид $y=a(x-2)$. Пересечение с границей: $$a(x-2)=-2x-6\ \Longleftrightarrow (a+2)x=2a-6.$$ При $a e-2$ есть одна граничная точка $x=L=(2a-6)/(a+2)$. При $a=-2$ прямые параллельны: равенство превратилось бы в $0=-10$, пересечений нет. Подставим прямую в окружность: $$x^2+a^2(x-2)^2+4x=0,$$ $$g(x)=(1+a^2)x^2+(4-4a^2)x+4a^2=0.$$ Старший коэффициент $1+a^2$ всегда положителен. Вычисляем дискриминант: $$D=(4-4a^2)^2-4(1+a^2)\cdot4a^2$$ $$D=16(1-2a^2+a^4)-16(a^2+a^4)=16(1-3a^2).$$ Поэтому при $|a|>1/\sqrt3$ круговых точек нет, остаётся одна граничная (при $a=-2$ и её нет). Эти параметры не подходят. Далее $|a|\le1/\sqrt3$, поэтому $a+2>0$. Полуплоскость после подстановки: $$(a+2)x-2a+6\ge0\ \Longleftrightarrow\ x\ge L.$$ Сравним центр пары корней с границей: $$m=-\frac{4-4a^2}{2(1+a^2)}=\frac{2(a^2-1)}{1+a^2},$$ $$m-L=\frac{2(a^2-1)(a+2)-(2a-6)(1+a^2)}{(1+a^2)(a+2)}$$ $$=\frac{10a^2-4a+2}{(1+a^2)(a+2)}=\frac{10(a-1/5)^2+8/5}{(1+a^2)(a+2)}>0.$$ Значит, центр всегда на разрешённой стороне. Теперь вычислим многочлен на границе: $$g(L)=\frac{(1+a^2)(2a-6)^2+(4-4a^2)(2a-6)(a+2)+4a^2(a+2)^2}{(a+2)^2}$$ $$g(L)=\frac{112a^2-32a-12}{(a+2)^2}=\frac{4(28a^2-8a-3)}{(a+2)^2}.$$ Разложим числитель группировкой: $$28a^2-8a-3=28a^2+6a-14a-3=2a(14a+3)-(14a+3)=(2a-1)(14a+3).$$ Значение отрицательно при $-3/14<a<1/2$. В этом случае граница между двумя корнями, поэтому одна круговая точка разрешена, а вторая нет. Вместе с граничной точкой ровно два решения. На концах $a=-3/14,1/2$ один корень совпадает с границей, другой внутри; различных точек $2+1-1=2$. Эти границы лежат строго между $\pm1/\sqrt3$. В остальных промежутках при положительном дискриминанте $g(L)>0$. Граница вне корней и левее их центра: обе круговые точки разрешены и отличаются от граничной. Всего три. При $a=\pm1/\sqrt3$ дискриминант нулевой: круговая точка одна и имеет $x=m>L$, то есть не совпадает с граничной. Всего две. Ответ: $\{-1/\sqrt3;1/\sqrt3\}\cup[-3/14;1/2]$.

Нужно три разные пары. Корень определён только при $x\le3$. Многочлен в первом множителе разложим группировкой: $$xy^2-3xy-3y+9=xy(y-3)-3(y-3)=(y-3)(xy-3).$$ Значит, первое уравнение задаёт три части: $y=3$ при $x\le3$; $xy=3$ при $x\le3$; и всю вертикаль $x=3$, где корень равен нулю. Пересекаем каждую с $y=ax$. Вертикаль всегда даёт одну точку: $$x=3,\qquad y=3a.$$ Для горизонтальной части требуется: $$ax=3.$$ Если $a=0$, решений нет. Если $a e0$, то $x=3/a$; нужно $3/a\le3$. При $a<0$ это выполнено автоматически, а при $a>0$ после умножения на $a$ получается $3\le3a$, то есть $a\ge1$. Для гиперболы подставляем $y=ax$: $$x\cdot ax=3\ \Longrightarrow\ ax^2=3.$$ При $a\le0$ равенство невозможно. При $a>0$: $$x^2=\frac3a\ \Longrightarrow\ x=\pm\sqrt{\frac3a}.$$ Отрицательный корень всегда меньше 3. Положительный проходит ограничение при: $$\sqrt{3/a}\le3\ \Longleftrightarrow\frac3a\le9\ \Longleftrightarrow 3\le9a\ \Longleftrightarrow\ a\ge\frac13.$$ Проверим все возможные общие точки частей. Вертикаль с гиперболой: $x=3$, $y=1$, поэтому $a=1/3$. Вертикаль с горизонталью: $(3;3)$, поэтому $a=1$. Горизонталь с гиперболой: $y=3$, $3x=3$, то есть $(1;3)$ и $a=3$. Других совпадений нет. Теперь полный подсчёт. При $a<0$ вертикальная и горизонтальная точки: две. При $a=0$ только вертикальная: одна. При $0<a<1/3$ вертикальная и отрицательная гиперболическая: две. При $a=1/3$ положительная гиперболическая совпала с вертикальной: всё ещё две. При $1/3<a<1$ вертикальная и две гиперболические точки различны: три. При $a=1$ появляется горизонтальная точка, но она совпадает с вертикальной: три. При $a>1$ обычно вертикальная, горизонтальная и две гиперболические точки дают четыре. Исключение $a=3$: горизонтальная совпадает с положительной гиперболической, всего три. Все интервалы и совпадения рассмотрены. Ответ: $(1/3;1]\cup\{3\}$.

Нужно ровно две разные пары. Сначала определим все части первого уравнения. ОДЗ квадратного корня: $$y-2x+12\ge0\ \Longleftrightarrow y\ge2x-12.$$ Нулевой корень даёт всю прямую $y=2x-12$. Нулевой первый множитель: $$xy-2x+12=0\ \Longrightarrow x(y-2)=-12.$$ При $x=0$ равенство невозможно; при $x e0$: $$y=2-\frac{12}x.$$ Для этой гиперболы сохраняем ОДЗ: $$2-\frac{12}x-2x+12=14-2x-\frac{12}x$$ $$=\frac{-2x^2+14x-12}x=\frac{-2(x^2-7x+6)}x=\frac{-2(x-1)(x-6)}x\ge0.$$ Квадратный множитель получен из $x^2-7x+6=x(x-1)-6(x-1)=(x-1)(x-6)$. На $x<0$ числитель отрицателен и знаменатель отрицателен: дробь положительна. На $(0;1)$ она отрицательна; на $[1;6]$ неотрицательна; на $(6;+\infty)$ отрицательна. Поэтому разрешены только $x<0$ и $1\le x\le6$. Гипербола совпадает с граничной прямой только в её концах $x=1$ и $x=6$. С прямой параметра $y=3x+a$ граничная прямая всегда имеет одно пересечение: $$3x+a=2x-12\ \Longrightarrow x=-a-12.$$ Для гиперболы выразим параметр через $x$: $$3x+a=2-\frac{12}x\ \Longrightarrow a=h(x)=2-3x-\frac{12}x.$$ Считаем уровни этой функции только на разрешённых $x<0$ и $[1;6]$. Производная: $$h\prime(x)=-3+\frac{12}{x^2}=\frac{3(4-x^2)}{x^2}.$$ На отрицательной полуоси функция убывает до $x=-2$, затем возрастает; по обоим краям стремится к плюс бесконечности. Минимум: $$h(-2)=2+6+6=14.$$ Поэтому при $a<14$ отрицательных корней нет; при $a=14$ один; при $a>14$ два. Эти точки не могут совпасть с граничной, поскольку общие точки ветвей имеют положительные $x=1,6$. Значит, $a=14$ даёт всего две точки, $a>14$ три. На $[1;6]$ производная положительна до 2 и отрицательна после 2. Ключевые значения: $$h(1)=2-3-12=-13,\qquad h(2)=2-6-6=-10,\qquad h(6)=2-18-2=-18.$$ Следовательно, на $[1;2]$ значения возрастают от $-13$ до $-10$, на $[2;6]$ убывают от $-10$ до $-18$. Это даёт все случаи: При $a<-18$ положительных разрешённых корней нет: всего одна граничная точка. При $a=-18$ есть $x=6$, но это общая точка ветвей: всё ещё одна. При $-18<a<-13$ есть одна внутренняя точка гиперболы и отдельная граничная: две. При $a=-13$ гипербола даёт две точки, одна $x=1$ уже на границе: всего две. При $-13<a<-10$ две точки гиперболы и отдельная граничная: три. При $a=-10$ обе гиперболические точки сливаются в $x=2$, отличный от граничного: две. При $-10<a<14$ гиперболических точек нет: одна. Все параметры рассмотрены с учётом отрицательной ветви. Ответ: $(-18;-13]\cup\{-10;14\}$.

Нужно ровно две разные пары. Сначала определим все части первого уравнения. ОДЗ квадратного корня: $$y-2x+12\ge0\ \Longleftrightarrow y\ge2x-12.$$ Нулевой корень даёт всю прямую $y=2x-12$. Нулевой первый множитель: $$xy-2x+12=0\ \Longrightarrow x(y-2)=-12.$$ При $x=0$ равенство невозможно; при $x e0$: $$y=2-\frac{12}x.$$ Для этой гиперболы сохраняем ОДЗ: $$2-\frac{12}x-2x+12=14-2x-\frac{12}x$$ $$=\frac{-2x^2+14x-12}x=\frac{-2(x^2-7x+6)}x=\frac{-2(x-1)(x-6)}x\ge0.$$ Квадратный множитель получен из $x^2-7x+6=x(x-1)-6(x-1)=(x-1)(x-6)$. На $x<0$ числитель отрицателен и знаменатель отрицателен: дробь положительна. На $(0;1)$ она отрицательна; на $[1;6]$ неотрицательна; на $(6;+\infty)$ отрицательна. Поэтому разрешены только $x<0$ и $1\le x\le6$. Гипербола совпадает с граничной прямой только в её концах $x=1$ и $x=6$. С граничной прямой $y=2x-12$ прямая $y=ax-10$ пересекается при: $$ax-10=2x-12\ \Longleftrightarrow (a-2)x=-2.$$ При $a e2$ есть одна граничная точка $x=-2/(a-2)$. При $a=2$ равенство невозможно, прямые параллельны. Для гиперболы: $$ax-10=2-\frac{12}x\ \Longrightarrow ax=12-\frac{12}x.$$ Разделим на ненулевой $x$: $$a=h(x)=\frac{12}x-\frac{12}{x^2}.$$ Найдём монотонность на разрешённых промежутках: $$h\prime(x)=-\frac{12}{x^2}+\frac{24}{x^3}=\frac{12(2-x)}{x^3}.$$ При $x<0$ производная отрицательна, функция убывает от 0 (с отрицательной стороны) до минус бесконечности. Поэтому каждому $a<0$ соответствует один отрицательный корень, а при $a\ge0$ их нет. На $[1;6]$ функция возрастает до $x=2$, затем убывает. Вычислим значения: $$h(1)=12-12=0,\qquad h(2)=6-3=3,\qquad h(6)=2-\frac13=\frac53.$$ Поэтому при $0<a<5/3$ есть одна точка на $[1;2]$; при $a=5/3$ появляется вторая в $x=6$; при $5/3<a<3$ две точки; при $a=3$ одна в $x=2$; при $a>3$ ни одной. При $a=0$ одна в $x=1$. Теперь добавим граничную точку, убирая совпадения. Общие точки прямой и гиперболы имеют $x=1,6$. Их параметры $h(1)=0$ и $h(6)=5/3$. При $a<0$ одна отрицательная гиперболическая точка и отдельная граничная: всего две. При $a=0$ единственная гиперболическая совпадает с граничной: одна. При $0<a<5/3$ одна гиперболическая плюс граничная: две. При $a=5/3$ две гиперболические, одна уже граничная: тоже две. При $5/3<a<3$ обычно две гиперболические плюс граничная: три. Но $a=2$ — исключение: граничной точки нет, а обе гиперболические допустимы, поэтому ровно две. При $a=3$ единственная гиперболическая $x=2$ и граничная $x=-2$ различны: две. При $a>3$ только граничная: одна. Ответ: $(-\infty;0)\cup(0;5/3]\cup\{2;3\}$.

Нужно ровно две разные пары $(x;y)$. Первое уравнение даёт $y=a-x$. Равенство модулей $|y|=|x^2-2x|$ равносильно двум вариантам: $$y=x^2-2x\qquad\text{или}\qquad y=-x^2+2x.$$ Это следует, например, из равенства квадратов: $y^2-(x^2-2x)^2=0$ — произведение двух линейных по $y$ множителей. Подставляем $y=a-x$ в обе ветви: $$a-x=x^2-2x\ \Longleftrightarrow\ x^2-x-a=0,$$ $$a-x=-x^2+2x\ \Longleftrightarrow\ x^2-3x+a=0.$$ У каждого уравнения максимум два корня, и каждому $x$ соответствует единственное $y=a-x$. Вычислим дискриминанты: $$D_1=(-1)^2-4\cdot1\cdot(-a)=1+4a,$$ $$D_2=(-3)^2-4\cdot1\cdot a=9-4a.$$ Поэтому при $a<-1/4$ первая ветвь не имеет корней, вторая даёт два; при $a>9/4$ вторая не имеет корней, первая даёт два. Оба диапазона подходят. Между этими границами обе ветви дают по два корня. Проверим возможные общие точки. Они должны удовлетворять: $$x^2-2x=-x^2+2x\ \Longrightarrow 2x^2-4x=2x(x-2)=0.$$ Значит, $x=0$ или $x=2$, и в обоих случаях $y=0$. По первому уравнению это $a=0$ или $a=2$. При каждом из этих значений совпадает ровно одна точка: всего $2+2-1=3$. Одновременно совпасть обе точки не могут, поскольку для них требуются разные $a$. При остальных $-1/4<a<9/4$ общих точек нет: решений четыре. При $a=-1/4$ или $a=9/4$ одно уравнение даёт один двойной корень, другое — два разных. Общих точек нет, поскольку параметр не равен 0 или 2. Всего три решения, поэтому границы исключены. Все случаи рассмотрены. Ответ: $(-\infty;-1/4)\cup(9/4;+\infty)$.

Нужно ровно две пары при положительном $a$. Из $y=\sqrt{x+4}$ следует $y\ge0$ и после возведения в квадрат $x=y^2-4$. Обратно, при любом $y\ge0$ эта формула даёт допустимый $x$ и $\sqrt{x+4}=\sqrt{y^2}=y$. Поэтому замена полностью равносильна. Первое уравнение: $$|y^2-4|+y=a,\qquad y\ge0.$$ Раскроем модуль по знаку $y^2-4$. При $0\le y\le2$: $$a=4-y^2+y=\frac{17}4-\left(y-\frac12\right)^2.$$ Проверим выделение квадрата: $$\frac{17}4-(y^2-y+1/4)=4-y^2+y.$$ На $[0;1/2]$ функция возрастает, на $[1/2;2]$ убывает. Её значения в ключевых точках: $$a(0)=4,\qquad a(1/2)=17/4,\qquad a(2)=2.$$ При $y\ge2$ другая формула: $$a=y^2+y-4.$$ Она строго возрастает: её производная $2y+1>0$, а начальное значение $a(2)=4+2-4=2$. Значит, эта ветвь принимает каждый уровень от 2 до бесконечности ровно один раз. Считаем все положительные уровни $a$. При $0<a<2$ обе ветви недостижимы: решений нет. При $a=2$ обе формулы дают один и тот же $y=2$, поэтому решение одно. При $2<a<4$ первая ветвь даёт один $y$ на убывающей части, вторая — ещё один $y>2$: всего два. При $a=4$ первая ветвь даёт $y=0$ и $y=1$, поскольку $4-y^2+y=4$ равносильно $y(1-y)=0$; вторая ещё один $y>2$: всего три. При $4<a<17/4$ на первой ветви два $y$ по разные стороны от $1/2$, на второй один: снова три. При $a=17/4$ первая даёт единственный $y=1/2$, вторая ещё один: два. При $a>17/4$ только вторая ветвь даёт один $y$. Каждому посчитанному $y$ соответствует ровно один $x=y^2-4$, поэтому число пар не меняется. Ответ: $(2;4)\cup\{17/4\}$.

Нужно единственное решение системы. Оба уравнения содержат $x$ только через $|x|$ или $x^2$. Значит, если существует решение $(x;y)$ с $x e0$, то существует и другая пара $(-x;y)$. Поэтому единственная пара обязательно имеет $x=0$. Подставим $x=0$ в окружность и решим: $$0^2+y^2=1\ \Longrightarrow\ y^2=1\ \Longrightarrow\ y=1\ \text{или}\ y=-1.$$ Первое уравнение в этой точке: $$2^{|0|+3}+7|0|+1=8y+7\cdot0^2+a,$$ $$2^3+1=8y+a,\qquad9=8y+a.$$ Отсюда кандидаты: $$y=1:\ a=9-8=1;\qquad y=-1:\ a=9+8=17.$$ Проверим $a=17$. Кроме $(0;-1)$ существуют $(1;0)$ и $(-1;0)$: для них второе уравнение даёт $1+0=1$, а первое: $$2^{1+3}+7\cdot1+1=16+7+1=24,$$ $$8\cdot0+7\cdot1+17=24.$$ Поэтому $a=17$ не подходит. Для $a=1$ пара $(0;1)$ подходит. Докажем отсутствие других. Пусть $u=|x|$. Из окружности $0\le u\le1$ и $y\le1$. Выразим параметр из первого уравнения: $$a=2^{u+3}+7u+1-8y-7u^2$$ $$a=8\cdot2^u+7u(1-u)+1-8y.$$ На указанном отрезке $2^u\ge1$, $u(1-u)\ge0$, $-8y\ge-8$. Следовательно: $$a\ge8\cdot1+0+1-8=1.$$ При $u>0$ неравенство $2^u>1$ строгое, а остальные оценки сохраняются: тогда $a>1$, что противоречит выбранному $a=1$. Значит, $u=0$, то есть $x=0$, а из $9=8y+1$ следует $y=1$. Ответ: $a=1$.

Нужно единственное решение системы. Во втором уравнении вынесем $x$: $$x(|y|+1)=2\ \Longrightarrow\ x=\frac2{|y|+1}>0.$$ Знаменатель всегда положителен, поэтому каждому $y$ соответствует ровно один $x$. Остаётся посчитать $y$, разделив случаи по его знаку. При $y\ge0$ подставляем $x=2/(y+1)$ в первое уравнение: $$\frac2{y+1}+ay+a-2=0,$$ $$a(y+1)=2-\frac2{y+1}=\frac{2(y+1)-2}{y+1}=\frac{2y}{y+1},$$ $$a=F(y)=\frac{2y}{(y+1)^2}.$$ На $y\ge0$ знаменатель положителен. Вычислим производную по правилу дроби: $$F\prime(y)=\frac{2(y+1)^2-2y\cdot2(y+1)}{(y+1)^4}$$ $$=\frac{2(y+1)((y+1)-2y)}{(y+1)^4}=\frac{2(1-y)}{(y+1)^3}.$$ Поэтому $F$ возрастает от $F(0)=0$ до $F(1)=2/4=1/2$, затем убывает к 0, оставаясь положительной. На этой ветви: при $a<0$ корней нет; при $a=0$ один $y=0$; при $0<a<1/2$ два; при $a=1/2$ один; при $a>1/2$ ни одного. При $y<0$ введём $u=-y>0$, тогда $x=2/(u+1)$. Первое уравнение: $$\frac2{u+1}-au+a-2=0,$$ $$a(1-u)=2-\frac2{u+1}=\frac{2u}{u+1}.$$ При $u=1$ это равенство потребовало бы $0=1$, значит, такой корень невозможен. При остальных $u$: $$a=H(u)=\frac{2u}{(1-u)(u+1)}=\frac{2u}{1-u^2}.$$ Её производная: $$H\prime(u)=\frac{2(1-u^2)-2u(-2u)}{(1-u^2)^2}=\frac{2+2u^2}{(1-u^2)^2}>0.$$ На $(0;1)$ функция непрерывно возрастает от 0 до плюс бесконечности; на $(1;+\infty)$ от минус бесконечности до 0. Поэтому каждому положительному $a$ отвечает ровно один $u\in(0;1)$, каждому отрицательному — ровно один $u>1$. При $a=0$ положительных $u$ нет. Складываем числа корней двух ветвей, которые не пересекаются по знаку $y$: при $a<0$ всего один; при $a=0$ только $(x;y)=(2;0)$; при $0<a<1/2$ всего $2+1=3$; при $a=1/2$ всего $1+1=2$; при $a>1/2$ всего один. Ответ: $(-\infty;0]\cup(1/2;+\infty)$.

Нужны четыре различные точки. Сначала выделим квадраты в первом уравнении: $$x^2-4(a+1)x=(x-2a-2)^2-4(a+1)^2,$$ $$y^2-2ay=(y-a)^2-a^2.$$ Подставляем и вычисляем свободную часть: $$-4(a+1)^2-a^2+5a^2+8a+3$$ $$=-4a^2-8a-4-a^2+5a^2+8a+3=-1.$$ Получили окружность: $$(x-2a-2)^2+(y-a)^2=1.$$ Её центр $(2a+2;a)$, радиус 1. Второе уравнение разлагается: $$y^2-x^2=(y-x)(y+x)=0.$$ Значит, пересекаем окружность с двумя прямыми $y=x$ и $y=-x$. Для четырёх точек каждая должна быть секущей. Расстояние от $(x_0;y_0)$ до $Ax+By+C=0$ равно $|Ax_0+By_0+C|/\sqrt{A^2+B^2}$. Подставляем центр: $$d_1=\frac{|(2a+2)-a|}{\sqrt2}=\frac{|a+2|}{\sqrt2},$$ $$d_2=\frac{|(2a+2)+a|}{\sqrt2}=\frac{|3a+2|}{\sqrt2}.$$ Требуем строго меньше радиуса: $$|a+2|<\sqrt2\ \Longleftrightarrow\ -2-\sqrt2<a<-2+\sqrt2,$$ $$|3a+2|<\sqrt2\ \Longleftrightarrow\ \frac{-2-\sqrt2}3<a<\frac{-2+\sqrt2}3.$$ Левая более строгая граница — $(-2-\sqrt2)/3$, правая — $-2+\sqrt2$. Поэтому: $$\frac{-2-\sqrt2}3<a<-2+\sqrt2.$$ Две прямые пересекаются только в $(0;0)$. Если эта точка на окружности, её нельзя считать дважды. Подставляем в исходное первое уравнение: $$5a^2+8a+3=0.$$ Разложение получим группировкой: $$5a^2+5a+3a+3=5a(a+1)+3(a+1)=(5a+3)(a+1).$$ Поэтому исключаем $a=-3/5,-1$. Оба находятся внутри найденного интервала (это проверяется прямой подстановкой в два условия расстояний). При остальных параметрах две пары точек не имеют общей точки. Ответ: $\bigl((-2-\sqrt2)/3;-2+\sqrt2\bigr)\setminus\{-1;-3/5\}$.

Ищем четыре разных решения. Второе уравнение приводим к произведению: $$xy-x-y+1=0,\qquad x(y-1)-(y-1)=(x-1)(y-1)=0.$$ Следовательно, решения лежат на $x=1$ или $y=1$. Подстановка первой прямой: $$a+ay^2+2a+(a+2)y+1=0,$$ $$ay^2+(a+2)y+3a+1=0.$$ Подстановка второй: $$ax^2+a+2ax+(a+2)+1=0,$$ $$ax^2+2ax+2a+3=0.$$ При $a=0$ обе зависимости линейные и каждая даёт максимум одну точку; четырёх точек не будет. При $a e0$ для двух точек на каждой прямой нужны положительные дискриминанты. Первый: $$D_1=(a+2)^2-4a(3a+1)$$ $$D_1=a^2+4a+4-12a^2-4a=4-11a^2.$$ Второй: $$D_2=(2a)^2-4a(2a+3)=4a^2-8a^2-12a=-4a(a+3).$$ Условия: $$4-11a^2>0\ \Longleftrightarrow\ -\frac2{\sqrt{11}}<a<\frac2{\sqrt{11}},$$ $$-4a(a+3)>0\ \Longleftrightarrow\ a(a+3)<0\ \Longleftrightarrow\ -3<a<0.$$ Пересечение даёт $-2/\sqrt{11}<a<0$. Теперь проверим общую точку прямых $(1;1)$: $$a+a+2a+(a+2)+1=5a+3,$$ $$5a+3=0\ \Longrightarrow\ a=-\frac35.$$ Это значение внутри найденного интервала: $3/5<2/\sqrt{11}$, поскольку после возведения в квадрат $9/25<4/11$, то есть $99<100$. При нём точка считается дважды, решений три. В остальных случаях две точки на одной прямой и две на другой различны. Ответ: $(-2/\sqrt{11};-3/5)\cup(-3/5;0)$.

Первое уравнение — произведение двух линейных выражений. Оно равно нулю на одной из прямых: $$x+ay=5\qquad\text{или}\qquad x+ay=5a.$$ Второе уравнение — окружность с центром в начале координат и радиусом 4. Каждая прямая может дать максимум две точки окружности, поэтому для четырёх решений нужны две различные прямые, каждая пересекающая окружность в двух точках. Расстояние от начала координат до прямой $Ax+By=C$ равно $|C|/\sqrt{A^2+B^2}$. Здесь это: $$d_1=\frac5{\sqrt{1+a^2}},\qquad d_2=\frac{5|a|}{\sqrt{1+a^2}}.$$ Прямая пересекает окружность дважды, когда расстояние до её центра строго меньше радиуса. При равенстве была бы одна точка касания. Решим первое условие: $$\frac5{\sqrt{1+a^2}}<4.$$ Обе стороны положительны, поэтому можно возвести в квадрат и умножить на положительное $1+a^2$: $$\frac{25}{1+a^2}<16\ \Longleftrightarrow 25<16+16a^2$$ $$9<16a^2\ \Longleftrightarrow\ |a|>\frac34.$$ Аналогично для второй прямой: $$\frac{25a^2}{1+a^2}<16\ \Longleftrightarrow 25a^2<16+16a^2$$ $$9a^2<16\ \Longleftrightarrow\ |a|<\frac43.$$ Значит, $3/4<|a|<4/3$. Обе прямые имеют одинаковую левую часть; они совпадают только при одинаковых правых частях: $$5=5a\ \Longrightarrow\ a=1.$$ При $a=1$ есть всего две точки, поэтому исключаем этот параметр. При остальных значениях прямые параллельны и различны: общих точек у них нет, и четыре пересечения действительно разные. Ответ: $(-4/3;-3/4)\cup(3/4;1)\cup(1;4/3)$.

Нужно четыре различные пары. Чтобы убрать сдвиги, введём $u=x+4$ и $b=a+4$. Тогда $x=u-4$, а $x-a=u-b$. Второе уравнение: $$4|y|=-(x^2+8x)=16-(x+4)^2=16-u^2,$$ $$|y|=4-\frac{u^2}4.$$ Правая часть неотрицательна только при $-4\le u\le4$. Поэтому получаем верхнюю и нижнюю дуги: $$y=4-\frac{u^2}4\qquad\text{или}\qquad y=-4+\frac{u^2}4.$$ Первое уравнение теперь $y=|u-b|-4$. На нижней дуге: $$|u-b|-4=-4+\frac{u^2}4\ \Longrightarrow\|u-b|=\frac{u^2}4,$$ $$b=u+\frac{u^2}4\quad\text{или}\quad b=u-\frac{u^2}4.$$ На верхней дуге: $$|u-b|-4=4-\frac{u^2}4\ \Longrightarrow\|u-b|=8-\frac{u^2}4,$$ $$b=u+8-\frac{u^2}4\quad\text{или}\quad b=u-8+\frac{u^2}4.$$ Все четыре формулы рассматриваем только на $u\in[-4;4]$. При замене $(u;b)$ на $(-u;-b)$ первые две и последние две формулы меняются местами. Число точек поэтому зависит от $|b|$; достаточно $b\ge0$. Выделим квадраты и укажем значения, необходимые для полного подсчёта: $$B_1=u+u^2/4=(u+2)^2/4-1;\quad B_1(-4)=0,\ B_1(-2)=-1,\ B_1(4)=8.$$ Эта функция убывает на $[-4;-2]$ и возрастает на $[-2;4]$. Поэтому каждому $0<b\le8$ она отвечает ровно одним $u$; при $b>8$ корней нет. $$B_2=u-u^2/4=1-(u-2)^2/4;\quad B_2(-4)=-8,\ B_2(2)=1,\ B_2(4)=0.$$ Она возрастает до $u=2$, затем убывает. Поэтому при $0<b<1$ даёт два корня, при $b=1$ один, при $b>1$ ни одного. $$T_1=u+8-u^2/4=9-(u-2)^2/4;\quad T_1(-4)=0,\ T_1(2)=9,\ T_1(4)=8.$$ Она возрастает до 2, затем убывает. При $0<b<8$ даёт один корень; при $b=8$ два; при $8<b<9$ два; при $b=9$ один; при $b>9$ ни одного. $$T_2=u-8+u^2/4=(u+2)^2/4-9.$$ На $[-4;4]$ её максимальное значение равно 0 (при $u=4$), поэтому при $b>0$ эта формула корней не даёт. Проверим совпадения. Две нижние формулы описывают одну точку только при $u^2/4=0$, то есть $u=b=0$. Верхние между собой не совпадают, поскольку $8-u^2/4\ge4>0$. Верхняя и нижняя дуги имеют общие точки только при $u=\pm4$, $y=0$. Они могут посчитаться дважды на уровнях $b=0$ или $b=\pm8$. При $0<b<1$ имеем $1+2+1=4$ различные точки. При $b=1$ — $1+1+1=3$. При $1<b<8$ — $1+0+1=2$. При $b=8$ нижняя формула даёт $u=4$, верхняя $u=0,4$; общую точку $u=4$ считаем один раз, всего две. При $8<b<9$ только две верхние; при $b=9$ одна; при $b>9$ ни одной. Отдельно $b=0$. Нижние формулы дают $u=-4,0,4$ (общий $u=0$ учтён один раз). Верхние добавляют только уже имеющиеся концы $u=-4,4$. Всего три точки. Значит, ровно четыре при $0<|b|<1$. Возвращаемся к параметру: $$0<|a+4|<1\ \Longleftrightarrow\ -1<a+4<1,\quad a+4\ne0,$$ $$-5<a<-3,\quad a\ne-4.$$ Ответ: $(-5;-4)\cup(-4;-3)$.

Нужно четыре различные пары $(x;y)$. Во втором уравнении сумма квадратов равна $a$, поэтому при $a<0$ решений нет. При $a=0$ оба квадрата нулевые, но тогда первое уравнение потребовало бы $0=12\cdot0-28=-28$, что неверно. Далее считаем $a>0$. Разложим разность четвёртых степеней как разность квадратов: $$x^4-y^4=(x^2-y^2)(x^2+y^2).$$ Подставим известную сумму $x^2+y^2=a$: $$a(x^2-y^2)=12a-28\ \Longrightarrow\ x^2-y^2=\frac{12a-28}a.$$ Деление допустимо, поскольку $a>0$. Сложим это равенство с $x^2+y^2=a$, а затем вычтем его: $$2x^2=a+\frac{12a-28}a=\frac{a^2+12a-28}a,$$ $$x^2=\frac{a^2+12a-28}{2a};$$ $$2y^2=a-\frac{12a-28}a=\frac{a^2-12a+28}a,$$ $$y^2=\frac{a^2-12a+28}{2a}.$$ Чтобы получилось четыре пары, оба выражения должны быть строго положительны. Тогда у $x$ два независимых знака, у $y$ тоже два: $2\cdot2=4$. При нулевом квадрате остаётся только один знак и максимум две пары, а отрицательный квадрат невозможен. Знаменатель $2a>0$, поэтому решаем два неравенства для числителей. Первое: $$a^2+12a-28>0,\qquad D_1=12^2-4\cdot1\cdot(-28)=144+112=256=16^2,$$ $$a_{1,2}=\frac{-12\pm16}2:\quad a_1=-14,\ a_2=2.$$ Квадратный трёхчлен со старшим коэффициентом $+1$ положителен вне корней: $a<-14$ или $a>2$. С учётом $a>0$ остаётся $a>2$. Второе: $$a^2-12a+28>0,\qquad D_2=(-12)^2-4\cdot28=144-112=32=(4\sqrt2)^2,$$ $$a_{1,2}=\frac{12\pm4\sqrt2}2=6\pm2\sqrt2.$$ Поэтому $a<6-2\sqrt2$ или $a>6+2\sqrt2$. Пересекаем с $a>2$: ответ $(2;6-2\sqrt2)\cup(6+2\sqrt2;+\infty)$. На всех исключённых границах один квадрат нулевой, поэтому четыре пары действительно не получаются.

Нужно четыре пары $(x;y)$. Введём $v=x^2\ge0$ и $k=|2a-4|\ge0$. Второе уравнение даёт $y=k-v$. Подставим это в первое: $$v^2+(k-v)^2=a^2,$$ $$v^2+k^2-2kv+v^2-a^2=0,$$ $$2v^2-2kv+k^2-a^2=0.$$ Каждый положительный корень $v$ даёт два $x=\pm\sqrt v$ и единственное $y=k-v$. Нулевой $v$ даёт только одну пару. Поэтому четыре пары возможны ровно при двух разных положительных корнях $v$. Два разных действительных корня требуют положительного дискриминанта: $$D=(-2k)^2-4\cdot2(k^2-a^2)=4k^2-8k^2+8a^2=4(2a^2-k^2)>0.$$ По теореме Виета сумма корней и их произведение равны: $$v_1+v_2=\frac{2k}2=k,\qquad v_1v_2=\frac{k^2-a^2}2.$$ Положительное произведение означает одинаковые знаки; положительная сумма делает оба знака положительными. Значит, нужны: $$k>0,\qquad k^2>a^2,\qquad k^2<2a^2.$$ Последние два строгих условия уже гарантируют $k>0$. Подставляем $k^2=(2a-4)^2$ в первое из них: $$(2a-4)^2>a^2\ \Longleftrightarrow 4a^2-16a+16-a^2>0,$$ $$3a^2-16a+16>0.$$ Выделим множители группировкой: $$3a^2-12a-4a+16=3a(a-4)-4(a-4)=(3a-4)(a-4).$$ Произведение положительно вне корней $4/3$ и 4: $a<4/3$ или $a>4$. Второе условие: $$(2a-4)^2<2a^2\ \Longleftrightarrow 2a^2-16a+16<0$$ $$a^2-8a+8<0\ \Longleftrightarrow (a-4)^2<8\ \Longleftrightarrow 4-2\sqrt2<a<4+2\sqrt2.$$ Пересекаем ограничения: $$a\in(4-2\sqrt2;4/3)\cup(4;4+2\sqrt2).$$ На границах либо один $v$ обращается в ноль, либо два $v$ сливаются, так что четырёх пар уже нет. Для любого параметра внутри найденных интервалов оба $v>0$ различны, обратная подстановка даёт ровно четыре пары. Это и есть ответ.

Нужно ровно две разные точки. Корень в первом уравнении существует при $2x+y+6\ge0$. Произведение равно нулю, когда либо корень равен нулю, либо первый множитель равен нулю. Поэтому получаем всю граничную прямую и часть окружности: $$y=-2x-6;\qquad x^2+y^2+4x=0,\quad2x+y+6\ge0.$$ Выделяем квадрат: $$x^2+4x+y^2=(x+2)^2+y^2-4,\qquad(x+2)^2+y^2=4.$$ Это окружность с центром $(-2;0)$ и радиусом 2, но сохраняем только её часть в указанной полуплоскости. Общие точки с границей получим подстановкой $y=-2x-6$: $$x^2+(-2x-6)^2+4x=0\ \Longleftrightarrow 5x^2+28x+36=0.$$ Вычислим корни: $$D=28^2-4\cdot5\cdot36=784-720=64,\qquad x=\frac{-28\pm8}{10}.$$ Получаем $x=-2$ и $x=-18/5$, соответственно $y=-2$ и $y=6/5$. Только в этих двух точках круговая и граничная части могут совпасть. Теперь пересекаем обе части с $y=x+a$. С границей: $$x+a=-2x-6\ \Longrightarrow 3x=-a-6\ \Longrightarrow\ x=L=-\frac{a+6}3.$$ Граничная точка существует ровно одна при каждом $a$. Для окружности: $$x^2+(x+a)^2+4x=0,$$ $$g(x)=2x^2+(2a+4)x+a^2=0.$$ Вычислим дискриминант: $$D=(2a+4)^2-8a^2=4a^2+16a+16-8a^2$$ $$D=4(-a^2+4a+4)=4(8-(a-2)^2).$$ Значит, две круговые точки возможны при $2-2\sqrt2<a<2+2\sqrt2$, одна при равенстве, ни одной вне этого диапазона. Из полуплоскости после подстановки $y=x+a$ получаем: $$3x+a+6\ge0\ \Longleftrightarrow\ x\ge L.$$ Центр двух корней по $x$: $$m=-\frac{2a+4}{2\cdot2}=-\frac{a+2}2,\qquad m-L=\frac{6-a}6.$$ Во всём диапазоне круговых пересечений $a\le2+2\sqrt2<6$, поэтому $m>L$. Подставим границу: $$g(L)=\frac{2(a+6)^2}9-\frac{(2a+4)(a+6)}3+a^2$$ $$=\frac{2a^2+24a+72-6a^2-48a-72+9a^2}9=\frac{a(5a-24)}9.$$ Если это значение отрицательно, граница находится между корнями: допустима одна круговая точка. Если положительно, граница вне корней и левее их центра, поэтому допустимы обе. При нуле один корень лежит прямо на границе и уже учтён как граничная точка. На $0<a<24/5$ граничное значение отрицательно: одна круговая точка плюс одна отдельная граничная — всего две. При $a=0$ и $a=24/5$ круговых точек две, но одна общая с границей: $2+1-1=2$. Оба значения внутри диапазона положительного дискриминанта: $2-2\sqrt2<0$ и $24/5<2+2\sqrt2$ (последнее следует из $7/5<\sqrt2$, поскольку $49<50$). В остальных открытых промежутках между касаниями граничное значение положительно: обе круговые точки внутри разрешённой области и не на границе, всего три. При касаниях $a=2\pm2\sqrt2$ единственная круговая точка имеет $x=m>L$, поэтому отличается от граничной; всего две. За пределами касаний остаётся только одна граничная точка. Ответ: $\{2-2\sqrt2;2+2\sqrt2\}\cup[0;24/5]$.

Нужно ровно два разных решения системы. Из первого уравнения: $$4x-y+a=0\ \Longrightarrow\ y=4x+a.$$ Каждому $x$ отвечает единственное $y$, поэтому считаем допустимые $x$. Второе уравнение перепишем: $$2|y|=x^2-4x.$$ При $y\ge0$, то есть $x\ge-a/4$, получаем: $$2(4x+a)=x^2-4x\ \Longleftrightarrow\ Q_1=x^2-12x-2a=0,$$ $$(x-6)^2=36+2a.$$ При $y\le0$, то есть $x\le-a/4$, получаем: $$-2(4x+a)=x^2-4x\ \Longleftrightarrow\ Q_2=x^2+4x+2a=0,$$ $$(x+2)^2=4-2a.$$ Первая пара корней существует при $a\ge-18$, вторая при $a\le2$. При строгом неравенстве пара состоит из двух корней; на границе они сливаются. Нужно проверить, с какой стороны от $L=-a/4$ стоят корни. В допустимом диапазоне первой ветви её центр 6 правее $L$: при $a\ge-18$ имеем $L\le9/2<6$. Во второй ветви центр $-2$ левее $L$: при $a\le2$ имеем $L\ge-1/2>-2$. Вычислим значения на границе: $$Q_1(-a/4)=\frac{a^2}{16}+3a-2a=\frac{a^2+16a}{16}=\frac{a(a+16)}{16},$$ $$Q_2(-a/4)=\frac{a^2}{16}-a+2a=\frac{a(a+16)}{16}.$$ При $a<-16$ или $a>0$ значение положительно: если пара действительных корней существует, оба лежат на разрешённой стороне от границы. При $-16<a<0$ значение отрицательно: граница между корнями, от каждой ветви остаётся один. При $a=-16,0$ граница — общий корень ветвей; его считаем один раз. Это единственные совпадения, поскольку обе ветви могут описывать одну точку только при $y=0$. Подсчитаем по всем критическим значениям: $$a<-18:\ 0+2=2;$$ $$a=-18:\ 1+2=3;$$ $$-18<a<-16:\ 2+2=4;$$ $$a=-16:\ 2+2-1=3;$$ $$-16<a<0:\ 1+1=2;$$ $$a=0:\ 2+2-1=3;$$ $$0<a<2:\ 2+2=4;$$ $$a=2:\ 2+1=3;$$ $$a>2:\ 2+0=2.$$ В строках сначала указано количество допустимых корней первой ветви, затем второй; вычитание единицы убирает общий корень. Выбираем строки с итогом 2. Ответ: $(-\infty;-18)\cup(-16;0)\cup(2;+\infty)$.