Найдите все значения $a,$ при каждом из которых система уравнений
$\{\begin{matrix}({x}^{2}+{y}^{2}+4x)\cdot \sqrt{2x+y+6}=0, \\ y=x+a\end{matrix}$
имеет ровно два различных решения.
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: $a\in\{2-2\sqrt2;2+2\sqrt2\}\cup[0;\frac{24}5]$.
Решение
Нужно ровно две разные точки. Корень в первом уравнении существует при $2x+y+6\ge0$. Произведение равно нулю, когда либо корень равен нулю, либо первый множитель равен нулю. Поэтому получаем всю граничную прямую и часть окружности:
$$y=-2x-6;\qquad x^2+y^2+4x=0,\quad2x+y+6\ge0.$$
Выделяем квадрат:
$$x^2+4x+y^2=(x+2)^2+y^2-4,\qquad(x+2)^2+y^2=4.$$
Это окружность с центром $(-2;0)$ и радиусом 2, но сохраняем только её часть в указанной полуплоскости. Общие точки с границей получим подстановкой $y=-2x-6$:
$$x^2+(-2x-6)^2+4x=0\ \Longleftrightarrow 5x^2+28x+36=0.$$
Вычислим корни:
$$D=28^2-4\cdot5\cdot36=784-720=64,\qquad x=\frac{-28\pm8}{10}.$$
Получаем $x=-2$ и $x=-18/5$, соответственно $y=-2$ и $y=6/5$. Только в этих двух точках круговая и граничная части могут совпасть.
Теперь пересекаем обе части с $y=x+a$. С границей:
$$x+a=-2x-6\ \Longrightarrow 3x=-a-6\ \Longrightarrow\ x=L=-\frac{a+6}3.$$
Граничная точка существует ровно одна при каждом $a$. Для окружности:
$$x^2+(x+a)^2+4x=0,$$
$$g(x)=2x^2+(2a+4)x+a^2=0.$$
Вычислим дискриминант:
$$D=(2a+4)^2-8a^2=4a^2+16a+16-8a^2$$
$$D=4(-a^2+4a+4)=4(8-(a-2)^2).$$
Значит, две круговые точки возможны при $2-2\sqrt2<a<2+2\sqrt2$, одна при равенстве, ни одной вне этого диапазона.
Из полуплоскости после подстановки $y=x+a$ получаем:
$$3x+a+6\ge0\ \Longleftrightarrow\ x\ge L.$$
Центр двух корней по $x$:
$$m=-\frac{2a+4}{2\cdot2}=-\frac{a+2}2,\qquad m-L=\frac{6-a}6.$$
Во всём диапазоне круговых пересечений $a\le2+2\sqrt2<6$, поэтому $m>L$. Подставим границу:
$$g(L)=\frac{2(a+6)^2}9-\frac{(2a+4)(a+6)}3+a^2$$
$$=\frac{2a^2+24a+72-6a^2-48a-72+9a^2}9=\frac{a(5a-24)}9.$$
Если это значение отрицательно, граница находится между корнями: допустима одна круговая точка. Если положительно, граница вне корней и левее их центра, поэтому допустимы обе. При нуле один корень лежит прямо на границе и уже учтён как граничная точка.
На $0<a<24/5$ граничное значение отрицательно: одна круговая точка плюс одна отдельная граничная — всего две. При $a=0$ и $a=24/5$ круговых точек две, но одна общая с границей: $2+1-1=2$. Оба значения внутри диапазона положительного дискриминанта: $2-2\sqrt2<0$ и $24/5<2+2\sqrt2$ (последнее следует из $7/5<\sqrt2$, поскольку $49<50$).
В остальных открытых промежутках между касаниями граничное значение положительно: обе круговые точки внутри разрешённой области и не на границе, всего три. При касаниях $a=2\pm2\sqrt2$ единственная круговая точка имеет $x=m>L$, поэтому отличается от граничной; всего две. За пределами касаний остаётся только одна граничная точка.
Ответ: $\{2-2\sqrt2;2+2\sqrt2\}\cup[0;24/5]$.