ФИПИ F605A0 — Системы и совокупности уравнений с параметром

Нужно ровно два разных решения системы. Из первого уравнения: $$4x-y+a=0\ \Longrightarrow\ y=4x+a.$$ Каждому $x$ отвечает единственное $y$, поэтому считаем допустимые $x$. Второе уравнение перепишем: $$2|y|=x^2-4x.$$ При $y\ge0$, то есть $x\ge-a/4$, получаем: $$2(4x+a)=x^2-4x\ \Longleftrightarrow\ Q_1=x^2-12x-2a=0,$$ $$(x-6)^2=36+2a.$$ При $y\le0$, то есть $x\le-a/4$, получаем: $$-2(4x+a)=x^2-4x\ \Longleftrightarrow\ Q_2=x^2+4x+2a=0,$$ $$(x+2)^2=4-2a.$$ Первая пара корней существует при $a\ge-18$, вторая при $a\le2$. При строгом неравенстве пара состоит из двух корней; на границе они сливаются. Нужно проверить, с какой стороны от $L=-a/4$ стоят корни. В допустимом диапазоне первой ветви её центр 6 правее $L$: при $a\ge-18$ имеем $L\le9/2<6$. Во второй ветви центр $-2$ левее $L$: при $a\le2$ имеем $L\ge-1/2>-2$. Вычислим значения на границе: $$Q_1(-a/4)=\frac{a^2}{16}+3a-2a=\frac{a^2+16a}{16}=\frac{a(a+16)}{16},$$ $$Q_2(-a/4)=\frac{a^2}{16}-a+2a=\frac{a(a+16)}{16}.$$ При $a<-16$ или $a>0$ значение положительно: если пара действительных корней существует, оба лежат на разрешённой стороне от границы. При $-16<a<0$ значение отрицательно: граница между корнями, от каждой ветви остаётся один. При $a=-16,0$ граница — общий корень ветвей; его считаем один раз. Это единственные совпадения, поскольку обе ветви могут описывать одну точку только при $y=0$. Подсчитаем по всем критическим значениям: $$a<-18:\ 0+2=2;$$ $$a=-18:\ 1+2=3;$$ $$-18<a<-16:\ 2+2=4;$$ $$a=-16:\ 2+2-1=3;$$ $$-16<a<0:\ 1+1=2;$$ $$a=0:\ 2+2-1=3;$$ $$0<a<2:\ 2+2=4;$$ $$a=2:\ 2+1=3;$$ $$a>2:\ 2+0=2.$$ В строках сначала указано количество допустимых корней первой ветви, затем второй; вычитание единицы убирает общий корень. Выбираем строки с итогом 2. Ответ: $(-\infty;-18)\cup(-16;0)\cup(2;+\infty)$.