ФИПИ 56C747 — Системы и совокупности уравнений с параметром

Нужно три разные пары. Корень определён только при $x\le3$. Многочлен в первом множителе разложим группировкой: $$xy^2-3xy-3y+9=xy(y-3)-3(y-3)=(y-3)(xy-3).$$ Значит, первое уравнение задаёт три части: $y=3$ при $x\le3$; $xy=3$ при $x\le3$; и всю вертикаль $x=3$, где корень равен нулю. Пересекаем каждую с $y=ax$. Вертикаль всегда даёт одну точку: $$x=3,\qquad y=3a.$$ Для горизонтальной части требуется: $$ax=3.$$ Если $a=0$, решений нет. Если $a e0$, то $x=3/a$; нужно $3/a\le3$. При $a<0$ это выполнено автоматически, а при $a>0$ после умножения на $a$ получается $3\le3a$, то есть $a\ge1$. Для гиперболы подставляем $y=ax$: $$x\cdot ax=3\ \Longrightarrow\ ax^2=3.$$ При $a\le0$ равенство невозможно. При $a>0$: $$x^2=\frac3a\ \Longrightarrow\ x=\pm\sqrt{\frac3a}.$$ Отрицательный корень всегда меньше 3. Положительный проходит ограничение при: $$\sqrt{3/a}\le3\ \Longleftrightarrow\frac3a\le9\ \Longleftrightarrow 3\le9a\ \Longleftrightarrow\ a\ge\frac13.$$ Проверим все возможные общие точки частей. Вертикаль с гиперболой: $x=3$, $y=1$, поэтому $a=1/3$. Вертикаль с горизонталью: $(3;3)$, поэтому $a=1$. Горизонталь с гиперболой: $y=3$, $3x=3$, то есть $(1;3)$ и $a=3$. Других совпадений нет. Теперь полный подсчёт. При $a<0$ вертикальная и горизонтальная точки: две. При $a=0$ только вертикальная: одна. При $0<a<1/3$ вертикальная и отрицательная гиперболическая: две. При $a=1/3$ положительная гиперболическая совпала с вертикальной: всё ещё две. При $1/3<a<1$ вертикальная и две гиперболические точки различны: три. При $a=1$ появляется горизонтальная точка, но она совпадает с вертикальной: три. При $a>1$ обычно вертикальная, горизонтальная и две гиперболические точки дают четыре. Исключение $a=3$: горизонтальная совпадает с положительной гиперболической, всего три. Все интервалы и совпадения рассмотрены. Ответ: $(1/3;1]\cup\{3\}$.