ФИПИ 6854C0 — Системы и совокупности уравнений с параметром

Нужно ровно две разные пары. Сначала определим все части первого уравнения. ОДЗ квадратного корня: $$y-2x+12\ge0\ \Longleftrightarrow y\ge2x-12.$$ Нулевой корень даёт всю прямую $y=2x-12$. Нулевой первый множитель: $$xy-2x+12=0\ \Longrightarrow x(y-2)=-12.$$ При $x=0$ равенство невозможно; при $x e0$: $$y=2-\frac{12}x.$$ Для этой гиперболы сохраняем ОДЗ: $$2-\frac{12}x-2x+12=14-2x-\frac{12}x$$ $$=\frac{-2x^2+14x-12}x=\frac{-2(x^2-7x+6)}x=\frac{-2(x-1)(x-6)}x\ge0.$$ Квадратный множитель получен из $x^2-7x+6=x(x-1)-6(x-1)=(x-1)(x-6)$. На $x<0$ числитель отрицателен и знаменатель отрицателен: дробь положительна. На $(0;1)$ она отрицательна; на $[1;6]$ неотрицательна; на $(6;+\infty)$ отрицательна. Поэтому разрешены только $x<0$ и $1\le x\le6$. Гипербола совпадает с граничной прямой только в её концах $x=1$ и $x=6$. С прямой параметра $y=3x+a$ граничная прямая всегда имеет одно пересечение: $$3x+a=2x-12\ \Longrightarrow x=-a-12.$$ Для гиперболы выразим параметр через $x$: $$3x+a=2-\frac{12}x\ \Longrightarrow a=h(x)=2-3x-\frac{12}x.$$ Считаем уровни этой функции только на разрешённых $x<0$ и $[1;6]$. Производная: $$h\prime(x)=-3+\frac{12}{x^2}=\frac{3(4-x^2)}{x^2}.$$ На отрицательной полуоси функция убывает до $x=-2$, затем возрастает; по обоим краям стремится к плюс бесконечности. Минимум: $$h(-2)=2+6+6=14.$$ Поэтому при $a<14$ отрицательных корней нет; при $a=14$ один; при $a>14$ два. Эти точки не могут совпасть с граничной, поскольку общие точки ветвей имеют положительные $x=1,6$. Значит, $a=14$ даёт всего две точки, $a>14$ три. На $[1;6]$ производная положительна до 2 и отрицательна после 2. Ключевые значения: $$h(1)=2-3-12=-13,\qquad h(2)=2-6-6=-10,\qquad h(6)=2-18-2=-18.$$ Следовательно, на $[1;2]$ значения возрастают от $-13$ до $-10$, на $[2;6]$ убывают от $-10$ до $-18$. Это даёт все случаи: При $a<-18$ положительных разрешённых корней нет: всего одна граничная точка. При $a=-18$ есть $x=6$, но это общая точка ветвей: всё ещё одна. При $-18<a<-13$ есть одна внутренняя точка гиперболы и отдельная граничная: две. При $a=-13$ гипербола даёт две точки, одна $x=1$ уже на границе: всего две. При $-13<a<-10$ две точки гиперболы и отдельная граничная: три. При $a=-10$ обе гиперболические точки сливаются в $x=2$, отличный от граничного: две. При $-10<a<14$ гиперболических точек нет: одна. Все параметры рассмотрены с учётом отрицательной ветви. Ответ: $(-18;-13]\cup\{-10;14\}$.