ФИПИ 752FA4 — Системы и совокупности уравнений с параметром

Нужно ровно две разные пары. Сначала определим все части первого уравнения. ОДЗ квадратного корня: $$y-2x+12\ge0\ \Longleftrightarrow y\ge2x-12.$$ Нулевой корень даёт всю прямую $y=2x-12$. Нулевой первый множитель: $$xy-2x+12=0\ \Longrightarrow x(y-2)=-12.$$ При $x=0$ равенство невозможно; при $x e0$: $$y=2-\frac{12}x.$$ Для этой гиперболы сохраняем ОДЗ: $$2-\frac{12}x-2x+12=14-2x-\frac{12}x$$ $$=\frac{-2x^2+14x-12}x=\frac{-2(x^2-7x+6)}x=\frac{-2(x-1)(x-6)}x\ge0.$$ Квадратный множитель получен из $x^2-7x+6=x(x-1)-6(x-1)=(x-1)(x-6)$. На $x<0$ числитель отрицателен и знаменатель отрицателен: дробь положительна. На $(0;1)$ она отрицательна; на $[1;6]$ неотрицательна; на $(6;+\infty)$ отрицательна. Поэтому разрешены только $x<0$ и $1\le x\le6$. Гипербола совпадает с граничной прямой только в её концах $x=1$ и $x=6$. С граничной прямой $y=2x-12$ прямая $y=ax-10$ пересекается при: $$ax-10=2x-12\ \Longleftrightarrow (a-2)x=-2.$$ При $a e2$ есть одна граничная точка $x=-2/(a-2)$. При $a=2$ равенство невозможно, прямые параллельны. Для гиперболы: $$ax-10=2-\frac{12}x\ \Longrightarrow ax=12-\frac{12}x.$$ Разделим на ненулевой $x$: $$a=h(x)=\frac{12}x-\frac{12}{x^2}.$$ Найдём монотонность на разрешённых промежутках: $$h\prime(x)=-\frac{12}{x^2}+\frac{24}{x^3}=\frac{12(2-x)}{x^3}.$$ При $x<0$ производная отрицательна, функция убывает от 0 (с отрицательной стороны) до минус бесконечности. Поэтому каждому $a<0$ соответствует один отрицательный корень, а при $a\ge0$ их нет. На $[1;6]$ функция возрастает до $x=2$, затем убывает. Вычислим значения: $$h(1)=12-12=0,\qquad h(2)=6-3=3,\qquad h(6)=2-\frac13=\frac53.$$ Поэтому при $0<a<5/3$ есть одна точка на $[1;2]$; при $a=5/3$ появляется вторая в $x=6$; при $5/3<a<3$ две точки; при $a=3$ одна в $x=2$; при $a>3$ ни одной. При $a=0$ одна в $x=1$. Теперь добавим граничную точку, убирая совпадения. Общие точки прямой и гиперболы имеют $x=1,6$. Их параметры $h(1)=0$ и $h(6)=5/3$. При $a<0$ одна отрицательная гиперболическая точка и отдельная граничная: всего две. При $a=0$ единственная гиперболическая совпадает с граничной: одна. При $0<a<5/3$ одна гиперболическая плюс граничная: две. При $a=5/3$ две гиперболические, одна уже граничная: тоже две. При $5/3<a<3$ обычно две гиперболические плюс граничная: три. Но $a=2$ — исключение: граничной точки нет, а обе гиперболические допустимы, поэтому ровно две. При $a=3$ единственная гиперболическая $x=2$ и граничная $x=-2$ различны: две. При $a>3$ только граничная: одна. Ответ: $(-\infty;0)\cup(0;5/3]\cup\{2;3\}$.